Добрый день уважаемые форумчане!
Решил немного поиграться с марковскими цепями и наткнулся на интересный эффект.
Предположим, что наблюдается случайная последовательность
с двумя допустимыми состояниями:
и
.
Задана матрица условных вероятностей переходов:
Для марковской цепи справедливо тождество
Теперь сделаем предположение, что свойства последовательности не зависят от направления просмотра. То есть, при "проигрывании" в обратном направлении последовательность также является марковской цепью, при этом справедливо следующее свойство "обратимости"
Соответственно, справедливо тождество
где
- матрица вероятностей обратных переходов
Из условия "обратимости" непосредственно следует, что
А отсюда сразу следует, что
где
- единичная матрица.
То есть, матрица
, при условии "обратимости" марковской цепи, является унитарной. А единственный случай для унитарной матрицы размером 2X2, при котором её элементы неотрицательны, является случай единичной матрицы.
Вывод: Условие "обратимости" описанной марковской цепи приводит к тому, что она становится вырожденной, то есть с вероятностью 1 перманентно находится в одном из двух состояний.Прошу ваших комментариев, так как результат весьма неожиданный.