Незнакомый метод составления уравнений движения

[alterlex]

Уважаемые форумчане! Пытаюсь решить задачу о движении тела (материальной точки) в поле с произвольным потенциалом в диссипативной среде с линейным по скорости сопротивлением. Набрёл на статью 1973 года, где уравнения движения в диссипативных средах получаются не с помощью диссипативной функции Рэлея, а методом умножения "чистого" Лагранжиана, т.е. Лагранжиана соответствующей консервативной системы $L=L(x, \dot{x})=\frac{mv^2}{2}-U(x)$ на $(\exp(\gamma t))$, где $\gamma$ - коэффициент сопротивления среды. Приведу пример для свободного (по инерции) движения тела в диссипативной среде:

$L=\frac{m\dot{x}^2}{2} \exp(\gamma t)$, откуда:

$\frac{\partial L}{\partial x}=0$;

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x} \exp(\gamma t)$;

$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=m\ddot{x} \exp(\gamma t)+m \gamma \dot{x} \exp(\gamma t) =0$, откуда получается уравнение:

$m \exp(\gamma t) (\ddot{x}+\gamma \dot{x})=0$ или

$\ddot{x}+\gamma \dot{x}=0$ -

уравнение свободного движения точки в диссипативной среде с линейным по скорости сопротивлением.
Хотелось бы понять:
1. Что это за метод, откуда он взялся вообще;
2. Какова "легитимность" такого умножения Лагранжиана на функцию времени;
3. В какой книге можно подробно почитать о таком методе описания диссипативных систем.
Заранее спасибо.

[Pphantom]

А в чем основной вопрос: требуется разобраться в методе или требуется решить конкретную задачу? Просто если второе, то подобный метод - это убийство воробья атомной бомбой. Вот это уравнение

alterlex в сообщении #1381892 писал(а):

$\ddot{x}+\gamma \dot{x}=0$

записывается сразу же из тривиальных соображений (это банальный второй закон Ньютона), причем наличие внешнего потенциала просто сделает ненулевой (и не менее очевидной) правую часть.

[alterlex]

Суть в том, что пользуясь этим методом, они составляют уравнения для не столь тривиальных систем, как описал я, и получают правильные уравнения движения, которые затем интегрируют методом Гамильтона-Якоби. Мне-то нужно решить конкретную задачу, а этот пример я привёл просто как пример метода, который не изучал и никогда не встречал в классической литературе. И может быть, этот метод поможет решить задачу. В конечном итоге.

[Pphantom]

Похоже, это прямое следствие обычного варианта с функцией Рэлея для силы вязкого сопротивления. Она в такой ситуации должна выглядеть как $\Phi = E_0 \gamma \exp (-2\gamma t)$, можно просто подставить ее в обычное уравнение и проверить, что результат сводится к имеющемуся.

[alterlex]

Да нет, они как раз и говорят, что есть два способа: использовать функцию Рэлея или лагранжиан в том виде, что я описал (в оригинале separable Lagrangian), и предпочтительнее не использовать функцию Рэлея.

[Ms-dos4]

alterlex
Этот способ вообще не является "физичным". Причин его использовать только одна:
1)Для трения такого вида он действительно просто даёт верные уравнения движения
2)Корни растут в том, что для простой системы с трением, описываемой уравнением

$${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial \dot x}} = {{\partial L} \over {\partial x}} - {{\partial F} \over {\partial \dot x}}$$

с диссипативной функцией вида $F = {\alpha \over 2}{{\dot x}^2} = \alpha K$ вы можете сделать замену
$L = \tilde L{e^{ - \alpha t}}$
и получите систему без диссипации

$${d \over {dt}}{{\partial \tilde K} \over {\partial \dot x}} + {{\partial \tilde U} \over {\partial x}} = 0$$

В итоге вы получаете систему в "масштабированном" формате $p \to {e^{\alpha t}}p$, $H \to H{e^{\alpha t}}$, только вот это преобразование каноническим НЕ является.

[alterlex]

Спасибо. Буду дальше разбираться.