2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 18:33 


09/10/16
4
Уважаемые форумчане! Пытаюсь решить задачу о движении тела (материальной точки) в поле с произвольным потенциалом в диссипативной среде с линейным по скорости сопротивлением. Набрёл на статью 1973 года, где уравнения движения в диссипативных средах получаются не с помощью диссипативной функции Рэлея, а методом умножения "чистого" Лагранжиана, т.е. Лагранжиана соответствующей консервативной системы $L=L(x, \dot{x})=\frac{mv^2}{2}-U(x)$ на $(\exp(\gamma t))$, где $\gamma$ - коэффициент сопротивления среды. Приведу пример для свободного (по инерции) движения тела в диссипативной среде:

$L=\frac{m\dot{x}^2}{2} \exp(\gamma t)$, откуда:

$\frac{\partial L}{\partial x}=0$;

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x} \exp(\gamma t)$;

$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=m\ddot{x} \exp(\gamma t)+m \gamma \dot{x} \exp(\gamma t) =0$, откуда получается уравнение:

$m \exp(\gamma t) (\ddot{x}+\gamma \dot{x})=0$ или

$\ddot{x}+\gamma \dot{x}=0$ -

уравнение свободного движения точки в диссипативной среде с линейным по скорости сопротивлением.
Хотелось бы понять:
1. Что это за метод, откуда он взялся вообще;
2. Какова "легитимность" такого умножения Лагранжиана на функцию времени;
3. В какой книге можно подробно почитать о таком методе описания диссипативных систем.
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 18:59 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
А в чем основной вопрос: требуется разобраться в методе или требуется решить конкретную задачу? Просто если второе, то подобный метод - это убийство воробья атомной бомбой. Вот это уравнение
alterlex в сообщении #1381892 писал(а):
$\ddot{x}+\gamma \dot{x}=0$
записывается сразу же из тривиальных соображений (это банальный второй закон Ньютона), причем наличие внешнего потенциала просто сделает ненулевой (и не менее очевидной) правую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 19:12 


09/10/16
4
Суть в том, что пользуясь этим методом, они составляют уравнения для не столь тривиальных систем, как описал я, и получают правильные уравнения движения, которые затем интегрируют методом Гамильтона-Якоби. Мне-то нужно решить конкретную задачу, а этот пример я привёл просто как пример метода, который не изучал и никогда не встречал в классической литературе. И может быть, этот метод поможет решить задачу. В конечном итоге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 19:31 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Похоже, это прямое следствие обычного варианта с функцией Рэлея для силы вязкого сопротивления. Она в такой ситуации должна выглядеть как $\Phi = E_0 \gamma \exp (-2\gamma t)$, можно просто подставить ее в обычное уравнение и проверить, что результат сводится к имеющемуся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 19:41 


09/10/16
4
Да нет, они как раз и говорят, что есть два способа: использовать функцию Рэлея или лагранжиан в том виде, что я описал (в оригинале separable Lagrangian), и предпочтительнее не использовать функцию Рэлея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 20:12 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
alterlex
Этот способ вообще не является "физичным". Причин его использовать только одна:
1)Для трения такого вида он действительно просто даёт верные уравнения движения
2)Корни растут в том, что для простой системы с трением, описываемой уравнением
$${d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial \dot x}} = {{\partial L} \over {\partial x}} - {{\partial F} \over {\partial \dot x}}$$
с диссипативной функцией вида $F = {\alpha  \over 2}{{\dot x}^2} = \alpha K$ вы можете сделать замену
$L = \tilde L{e^{ - \alpha t}}$
и получите систему без диссипации
$${d \over {dt}}{{\partial \tilde K} \over {\partial \dot x}} + {{\partial \tilde U} \over {\partial x}} = 0$$
В итоге вы получаете систему в "масштабированном" формате $p \to {e^{\alpha t}}p$, $H \to H{e^{\alpha t}}$, только вот это преобразование каноническим НЕ является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Незнакомый метод составления уравнений движения
Сообщение14.03.2019, 20:17 


09/10/16
4
Спасибо. Буду дальше разбираться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group