"Ошибка Фейнмана"

[lb_2012]

Прошу прощения за провокационное название темы. Разумеется, речь идёт о непонимании, которое не получилось разрешить почти непрерывным двухмесячным консультированием с двумя аксакалами - к.ф.м.н. и заслуженным учителем физики.

В 5 томе фейнмановских лекций в гл.13 §6 "Относительность магнитных и электрических полей" утверждается, что "покоящаяся проволока нейтральна" (провод в его системе отсчета $S$), а "движущаяся проволока заряжена положительно" (провод в системе отсчета летящего рядом электрона $S'$).
В то же время формула (13.25)

$$\rho_- = \frac{\rho'_-}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

с учетом выше приведенного равенства $\rho'_- = \rho_0$ явно показывает, что плотность электронов в $S$ выше, чем плотность покоя электронов $\rho_0$. Соответственно, релятивистское сжатие у Фейнмана учитывается в $S'$ дважды - ионной решетки и электронов, перенесенных из ранее рассматривавшейся системы $S$

$$\rho' = \frac{\rho_+}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\rho_-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Это непонятно. Согласно выкладкам самого Фейнмана покоящаяся проволока с током не получается нейтральной, она имеет отрицательный заряд за счет повышения плотности движущихся электронов по формуле (13.25).
В чем дело?

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.


Вы действительно с этим вопросом обратились к кандидату филологических наук или это все-таки опечатка?

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[Munin]

Покоящаяся проволока нейтральна не из расчётов, а по условию: в лабораторной с.о. любой источник тока создаёт в проволоке ток таким образом, что она нейтральна - то есть, не нагоняет в неё лишних электронов, и не забирает слишком много.

Если вас не устраивает расчёт Фейнмана, его легко проделать самостоятельно. Берём Ландау-Лифшица 2, и видим, что плотность заряда - это не скалярная физическая величина, а 0-компонента 4-вектора плотности тока. Значит, надо учитывать плотность тока в преобразованиях Лоренца. Забудем про оси $y,z.$

Пусть в лабораторной с.о. $\rho_-=-\rho_+,$ $j_+=\rho_+ v_+=0,$ $j_-=\rho_- v_-=\rho_- v\ne 0.$ Перейдём в с.о., движущуюся вместе с электронами:

$$\begin{cases}\rho_+'=\gamma(\rho_+ -vj_+/c^2)=\gamma\rho_+ \\ j_+'=\gamma(j_+ -v\rho_+)=-\gamma v\rho_+,\end{cases} \qquad \begin{cases}\rho_-'=\gamma(\rho_- -vj_-/c^2)=\rho_-/\gamma \\ j_-'=\gamma(j_- -v\rho_-)=0,\end{cases} \qquad \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Видно, что проволока стала заряженной:

$$\rho'=\rho_+' + \rho_-'=\gamma\rho_+ + \rho_-/\gamma>0.$$

Вернёмся в исходную с.о. обратными преобразованиями Лоренца, обозначая новые величины двумя штрихами:

$$\begin{cases}\rho_+''=\gamma'(\rho_+' +vj_+'/c^2)=\rho_+ \\ j_+''=\gamma'(j_+' +v\rho_+')=0,\end{cases} \qquad \begin{cases}\rho_-''=\gamma'(\rho_-' +vj_-'/c^2)=\rho_- \\ j_-''=\gamma'(j_-' +v\rho_-')=v\rho_-,\end{cases} \qquad \gamma'=\dfrac{1}{\sqrt{1-(-v)^2/c^2}}.$$

Видно, что дважды штрихованные величины совпадают с нештрихованными, то есть картина непротиворечива.

[Walker_XXI]

lb_2012 в сообщении #1381862 писал(а):

плотность электронов в $S$ выше, чем плотность покоя электронов $\rho_0$. Соответственно, релятивистское сжатие у Фейнмана учитывается в $S'$ дважды - ионной решетки и электронов, перенесенных из ранее рассматривавшейся системы $S$

$$\rho' = \frac{\rho_+}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\rho_-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Это непонятно.

Здесь нет никакого "двойного учёта сжатия". И электроны ниоткуда не переносятся. Фейнман просто делает пересчёт плотности зарядов при переходе из $S$ в $S'$ отдельно для положительных и отдельно для отрицательных зарядов. Для положительных мы получаем увеличение плотности по формуле (13.25), т.к. теперь положительные заряды движутся, а для отрицательных - наоборот, получаем уменьшение плотности (как Вы сами отметили, $\rho_0 < \rho_-$), потому что в $S$ они двигались, а теперь покоятся. Вот и всё! Складываем обе плотности в системе $S'$ и учитываем, что всё можно выразить через один неизвестный параметр $\rho_+$: "поскольку покоящаяся проволока нейтральна (это экспериментальный факт - Walker_XXI), $\rho_- = - \rho_+$".

[lb_2012]

Большое спасибо Заслуженным участникам за обстоятельные ответы. Особенно за 4-векторную разрисовку.
Казалось бы, уже всё должно быть ясно, но к сожалению, ничего не изменилось. Расчет по ландавшицу просто исходит из той же предпосылки, что и расчет фейнманический. Ведь Munin начинает свои выкладки с чего? С этого:

Munin в сообщении #1381925 писал(а):

Пусть в лабораторной с.о. $\rho_-=-\rho_+,$

То есть сходу полагается то, в чем у меня вопрос. Естественно, обратным преобразованием мы выйдем на то же условие.

Но кто сказал... Нет, не так. Где и каким законом постулируется, что в "в лабораторной с.о. любой источник тока создаёт в проволоке ток таким образом, что она нейтральна"? Кажется почему-то, что такого закона нет. Надо ввести так сказать третью систему отсчета $S_0$, в которой, в отличие от двух предыдущих, не движутся ни электроны, ни остовы. То есть систему отсчета без тока. Вот именно в этой $S_0$ мы и постулируем, что провод электронейтрален. А дальше, после того, как включим ток, может случиться всякое.

И действительно, как записано в 1-м посте темы, у Фейнмана есть формула (13.25), которую я уж не буду еще раз переписывать. Хотелось бы, чтобы ее внимательно рассмотрели участники обсуждения. Напомню:

lb_2012 в сообщении #1381862 писал(а):

$\rho'_- = \rho_0$

Этим выражением Фейнман пишет: "плотность электронов в $S'$ равна плотности покоя электронов". А что такое "плотность покоя электронов"? Это как раз плотность в системе отсчета без тока $S_0$. Поэтому формула (13.25) означает, что "плотность электронов в $S$ выше, чем плотность покоя электронов". Фейнман чётко понимает, что раз электроны начинают движение, то тут же начинается лоренцево сокращение движущейся массы, или как еще пишут "сжатие масштаба". Расстояние между электронами релятивистски сокращается, и плотность электронов для наблюдателя из системы отсчета $S$ видится увеличившейся. Это и записано в формуле (13.25).

Да и как иначе? Почему, если мы переходим в систему отсчета $S'$, двигающиеся теперь положительно заряженные остовы сжимаются, а если смотреть наоборот, то движущиеся электроны не сжимаются? Совершенно зеркальная ситуация.

И если понять, что провод в $S$ перестает быть нейтральным, станет ясно, почему соображения Walker_XXI должны быть пересмотрено. Ведь второе слагаемое в процитированной им формуле должно быть равно $\rho_0$.

[Munin]

lb_2012 в сообщении #1381971 писал(а):

Надо ввести так сказать третью систему отсчета $S_0$, в которой, в отличие от двух предыдущих, не движутся ни электроны, ни остовы. То есть систему отсчета без тока.

Это невозможно, потому что они движутся относительно друг друга.

Задача ввести с.о. без тока - другой вопрос, но и это невозможно. По другой причине: суммарный 4-вектор тока пространственно-подобен. То есть, ток будет существовать в любой с.о. Это закон.

lb_2012 в сообщении #1381971 писал(а):

Этим выражением Фейнман пишет: "плотность электронов в $S'$ равна плотности покоя электронов". А что такое "плотность покоя электронов"? Это как раз плотность в системе отсчета без тока $S_0$...
Да и как иначе? Почему, если мы переходим в систему отсчета $S'$

Ваша проблема в том, что вы выдумали невозможную систему отсчёта $S_0,$ и привязываете слова Фейнмана к ней - ошибочно. На самом деле, именно система $S'$ - это и есть система отсчёта, в которой электроны покоятся. Значит, именно в ней плотность электронов - это "плотность покоя" электронов (неудачное словосочетание, имхо).

lb_2012 в сообщении #1381971 писал(а):

Фейнман чётко понимает, что раз электроны начинают движение, то тут же начинается лоренцево сокращение движущейся массы, или как еще пишут "сжатие масштаба". Расстояние между электронами релятивистски сокращается, и плотность электронов для наблюдателя из системы отсчета $S$ видится увеличившейся. Это и записано в формуле (13.25).

Это можно увидеть и в моём сообщении: $\rho_-''=\gamma\rho_-'.$

Но надо понимать, что сама величина $\rho_-'$ ("плотность покоя" электронов) - не такая же по величине (по модулю), как $\rho_+$ - "плотность покоя" положительных зарядов. И поэтому, даже увеличиваясь в $\gamma$ раз, она доходит только до такой величины, чтобы скомпенсироваться с положительными зарядами до нуля. "Совершенно зеркальной ситуации" нет.

Если хотите, можно рассмотреть и совершенно зеркальную ситуацию. Это несложно. Однако надо понимать, что:
1. Реально в лабораторных условиях её реализовать сложнее и потребует специальных усилий;
2. Про неё Фейнман не пишет! Это другая отдельная задача.

[lb_2012]

Munin в сообщении #1381974 писал(а):

Это невозможно, потому что они движутся относительно друг друга.
Задача ввести с.о. без тока - другой вопрос, но и это невозможно. По другой причине: суммарный 4-вектор тока пространственно-подобен. То есть, ток будет существовать в любой с.о. Это закон.

Совершенно невероятные вещи вы пишете. Тут уж и не поспоришь. То есть даже если от рассматривавшегося проводника с током отключить ток, то ток всё равно будет из-за того, что "суммарный 4-вектор тока пространственно-подобен"? Это выше моего понимания, простите. Но я верил и буду верить, что если тока нет, то свободные электроны и ионы металлической решетки НЕ движутся относительно друг друга (флуктуации не рассматриваем). Прошу также обратить внимание на мои слова "так сказать", так как в $S_0$ мы, разумеется, не сможем перейти из систем отсчёта $S$ и $S'$, моя система $S_0$ введена исключительно из-за "ошибки Фейнмана", для выхода из тупика.

Munin в сообщении #1381974 писал(а):

Ваша проблема в том, что вы выдумали невозможную систему отсчёта $S_0,$ и привязываете слова Фейнмана к ней - ошибочно.

Очень надеюсь, что я "выдумал" самую возможную из возможных систем отсчёта - валяющиеся без дела провода, не подключенные ни к каким батареям, аккумуляторам и генераторам.

Munin в сообщении #1381974 писал(а):

Но надо понимать, что сама величина $\rho_-'$ ("плотность покоя" электронов) - не такая же по величине (по модулю), как $\rho_+$ - "плотность покоя" положительных зарядов. И поэтому, даже увеличиваясь в $\gamma$ раз, она доходит только до такой величины, чтобы скомпенсироваться с положительными зарядами до нуля. "Совершенно зеркальной ситуации" нет.

Вот этого я уже совсем не могу понять. Если бы "плотность покоя" электронов не была равна "плотности покоя" положительных зарядов, то как бы тогда провод мог считаться электронейтральным? Ведь даже Фейнман (который "ошибается") неоднократно об этом пишет (на с.268 и 270).

-- 15.03.2019, 11:23 --

И вообще, уважаемые релятивисты! Ответьте мне на простой вопрос:
я стою на остановке, и к ней приближается трамвай - расстояния между пассажирами в нем меньше, чем когда он остановится?
В моей системе отсчета пассажиры движущегося трамвая сближаются?

[wrest]

lb_2012 в сообщении #1382011 писал(а):

я стою на остановке, и к ней приближается трамвай - расстояния между пассажирами там меньше, чем когда он остановится?

В вашей ИСО - меньше когда двигается трамвай (и сам трамвай короче). В трамвайной ИСО - постоянное.

Касательно представления магнитного поля как следствия релятивитского сокращения длины, есть ещё разбор у Парселла.
Парселл. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
В том что есть у меня это Глава 5. Поля движущихся зарядов.

Вообще, чтобы не было вопросов по электронейтральности проводника по которому течет ток (типа - а сжимаема ли "электронная жидкость" которая течет по проводу), мне кажется надо примерно как у Парселла рассуждать. Допустим у нас есть два совмещенных соосных твердых стержня бесконечной длины, диэлектрических, равномерно заряженных. Один заряжен положительно, второй отрицательно, линейные плотности заряда совпадают. Когда стержни не движутся друг относительно друга -- тока нет. Когда движутся - ток есть. И в стороне от них есть пробный заряд.

У Парселла там есть интересное замечание, касающееся электронейтральности, приведу его тут:

Цитата:

"А как же инвариантность заряда?" -- спросите вы. Мы уже подчеркивали, что полный заряд, заключенный в некоторой области, одинаков независимо от системы отсчета, в которой он измеряется. В нашем случае не существует области, которая могла бы заключать весь заряд проволоки, так как она простирается в бесконечность; что происходит на его концах, нас не интересует.

Фейнман емнип такой ремарки не делает, возможно камень преткновения тут?

[Munin]

lb_2012 в сообщении #1382011 писал(а):

И вообще, уважаемые релятивисты!

Словечко из словаря психов-"опровергунов" мгновенно убивает всякое желание продолжать разговор дальше. Вам надо осознать, что никаких "релятивистов" не существует, саму эту идею выдумали и распространяют шарлатаны и психи.

lb_2012 в сообщении #1382011 писал(а):

То есть даже если от рассматривавшегося проводника с током отключить ток, то ток всё равно будет из-за того, что "суммарный 4-вектор тока пространственно-подобен"? Это выше моего понимания, простите.

Вам бы надо не путать переход между системами отсчёта, и изменение условий эксперимента. Отключение тока - это не выбор новой системы отсчёта, о чём вы писали раньше.

lb_2012 в сообщении #1382011 писал(а):

Очень надеюсь, что я "выдумал" самую возможную из возможных систем отсчёта - валяющиеся без дела провода, не подключенные ни к каким батареям, аккумуляторам и генераторам.

Система отсчёта - это не провода. Про это рассказывали в школе на уроках физики. Вот, например, из учебника Касьянова:

Цитата:

Система отсчета — совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов.
Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение движущейся материальной точки (или [другого] тела).
Инерциальная система отсчета — система отсчета, в которой тело, не взаимодействующее с другими телами. сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

lb_2012 в сообщении #1382011 писал(а):

Но я верил и буду верить

В физике желательно что-то знать. А верить не обязательно - достаточно проверить собственными расчётами.

На этом этапе, я рекомендую книгу
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.

А то, что вы схватились за Фейнмана, - это просто раньше времени. Надо изучать материал по порядку.

[lb_2012]

wrest в сообщении #1382015 писал(а):

В вашей ИСО - меньше когда двигается трамвай (и сам трамвай короче).

Спасибо вам большое! Вы меня очень и очень утешили и укрепили в своем старании докопаться до истины (возможно, последнее слово в кавычках).

Теперь беремся за камень преткновения.

Лемма (аксиома) 1. "В движущемся трамвае расстояние между пассажирами сжимается" (относительно неподвижной системы отсчета, причем наблюдатель расположен где-то впереди или сзади на рельсах - чтобы исключить косинусы).

Теорема 1. "В проводнике с током расстояния между электронами проводимости сокращается" (относительно неподвижного проводника).

Доказательство. Помещаем в проводник с током трамвай с пассажирами. Поворачивая ручку реостата, регулирующую скорость трамвая, заставляем его ехать так же медленно как и рядом текущие электроны. Просим каждого из пассажиров следить из окна за своим насупротивным электроном. Заходим сами в этот провод и спрашиваем издали в мегафон, как там дела? Все занятые в эксперименте пассажиры утверждают, что их электроны двигаются параллельным курсом и неподвижны относительно трамвая. Мы делаем вывод, что электроны ведут себя так же, как и пассажиры. И если верна Лемма 1, то Теорема 1 считается доказанной - расстояния между электронами в проводе сжимается так же, как и расстояние между пассажирами в трамвае.

Теорема 2. "В проводнике с током концентрация электронов проводимости увеличивается".

Доказательство. Открываем том 5 Лекций Фейнмана на с.269 и начинаем читать на один абзац выше формулы (13.22): "Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью $v$, то они все будут находиться в куске материала..." и т.д. Ну, то есть ясно - за нас Теорему 2 доказал Фейнман. Он показал, что если расстояние между движущимися зарядами уменьшилось, то их концентрация выросла.

Следствие из Теоремы 2. "В проводнике с током электронейтральность нарушается". В зависимости от системы отсчета -
для с.о. неподвижного провода провод видится заряженным отрицательно, а для с.о. движущихся электронов - положительно.

$\blacksquare$

[Munin]

wrest в сообщении #1382015 писал(а):

возможно камень преткновения тут?

Гораздо раньше. Человек не понимает, что такое "система отсчёта", и произносит слова типа "релятивисты". Это уже означает изрядную засорённость мозгов и враждебность к учёбе.

-- 15.03.2019 12:54:22 --

Если бы электроны образовывали собой жёсткую структуру, типа трамвая, или кристаллической решётки положительных ионов в металле, то конечно, при разгоне в проводе они бы сжимались повдоль, и увеличивали плотность заряда.

Но на самом деле, электроны не связаны между собой в такую жёсткую структуру. Они образуют что-то типа газа (часто так и говорят, "электронный газ"), и внешние приборы могут "закачивать" и "откачивать" этот газ достаточно свободно. Именно это и делает источник тока, подключённый к проволоке. Он не только разгоняет электроны, но и подгоняет их плотность таким образом, чтобы в его системе отсчёта проволока оставалась бы электронейтральной.

[lb_2012]

Munin в сообщении #1382027 писал(а):

Если бы электроны образовывали собой жёсткую структуру, типа трамвая, или кристаллической решётки положительных ионов в металле, то конечно, при разгоне в проводе они бы сжимались повдоль, и увеличивали плотность заряда.

Но на самом деле, электроны не связаны между собой в такую жёсткую структуру. Они образуют что-то типа газа (часто так и говорят, "электронный газ"), и внешние приборы могут "закачивать" и "откачивать" этот газ достаточно свободно. Именно это и делает источник тока, подключённый к проволоке. Он не только разгоняет электроны, но и подгоняет их плотность таким образом, чтобы в его системе отсчёта проволока оставалась бы электронейтральной.

Крайне благодарен вам за эти рассуждения. К сожалению, они свидетельствуют о вашем непонимании (простите!) релятивистских (простите!!) соотношений. Во многих серьезных пособиях встречается термин "сжатие масштаба", и он означает, что телу не надо быть твердым, чтобы сжиматься при движении. А то бы в формулы Лоренца входила плотность вещества. По-вашему выходит даже, что расстояние между пассажирами в трамвае, слава богу, сжимаются, а если бы они улетали как птицы, то уже бы расстояние и не сжималось. Увы, это неверно.

И кстати, ничего в провод не подкачивается, чтобы его сделать электронейтральным. Недаром в с.о. этих электронов их плотность равна "плотности покоя" (Фейнман, с.270).

[Munin]

lb_2012 в сообщении #1382039 писал(а):

Во многих серьезных пособиях встречается термин "сжатие масштаба", и он означает, что телу не надо быть твердым, чтобы сжиматься при движении.

Да, не надо быть твёрдым, но надо, чтобы размеры тела были хоть как-то фиксированы. А вот при разгоне электронов в проводе этого нет. "Плотность покоя" электронов в проводе с током - плотность в их собственной системе отсчёта - отличается от плотности электронов в проводе без тока.

Ваша ошибка в том, что вы пытаетесь понять сложную задачу, которая требует одновременно и знания физики электричества, и релятивистской физики. А у вас слабо и с тем и с другим. Лучше разбираться поначалу по отдельности.

lb_2012 в сообщении #1382039 писал(а):

А то бы в формулы Лоренца входила плотность вещества.

Есть и формулы Лоренца для плотности вещества. Только они здесь не нужны.

lb_2012 в сообщении #1382039 писал(а):

Недаром в с.о. этих электронов их плотность равна "плотности покоя"

Вот эту фразу вы неправильно поняли. Но в тексте она даже не объяснена подробно. То есть, ваше понимание вы высосали из пальца, а не основываясь на объяснениях Фейнмана.

[lb_2012]

Munin в сообщении #1382041 писал(а):

Да, не надо быть твёрдым, но надо, чтобы размеры тела были хоть как-то фиксированы. А вот при разгоне электронов в проводе этого нет.

Формулируем Постулат #1-Mu. "В проводе с током расстояния между электронами не сжимаются".

Munin в сообщении #1382027 писал(а):

Именно это и делает источник тока, подключённый к проволоке. Он не только разгоняет электроны, но и подгоняет их плотность таким образом, чтобы в его системе отсчёта проволока оставалась бы электронейтральной.

Формулируем Постулат #2-Mu. "При включении тока источник тока подкачивает (откачивает) электроны в проводе, чтобы сохранить его электронейтральность" (в системе отсчёта покоящегося провода).

Простой вопрос: а зачем нужен Постулат #2, если работает Постулат #1?