Решаю задачу из курса теории игр.
Условие:
Пират прячет сокровища в накоторой точке на круглом острове единичного радиуса. Полиция пролетает над островом на самолете по некоторой прямой. Полиция найдет сокровище (и выйграет игру), если пролетит на расстоянии не дальше, чем
![$w$ $w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fae8b8b78ebe01cbfbe2fe5383262482.png)
от сокровища. Пират хочет минимозировать вероятность того, что полиция найдет сокровище, а полиция - максимизировать эту вероятность. Требуется найти равновесие Нэша.
Мои попытки решения:
Очевидно, что равновесие в чистых стратегиях невозможно(рассмотриваются нетривиальные случаи, в которых самолет не может увидеть весь остров за 1 пролет). Значит и пират, и самолет должны выбирать стратегии в соотвествии с некоторой функцией распределения вероятностей. Выбор пирата можно характеризовать расстоянием
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
от клада до центра круга, а выбор самолета расстоянием
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
от центра круга до прямой, по которой летит самолет.
![$r \in [0,1]$ $r \in [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/6/67609e58b193eeb2e4ea96114354888682.png)
,
![$ h \in [0,1-w] $ $ h \in [0,1-w] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/8/8b8d84308da60b5b9ff4ce79642276d182.png)
. Распишем вероятности
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
нахождения самолетом клада при заданных
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
и
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
. Для этого потребуется рассмотреть 2 случая:
Случай первый
![$h>w$ $h>w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/4/ff49f19dd5e0c6c9423b23150cb4f79282.png)
:
![$$ r<h-w: \qquad P_1(r,h) = 0 $$ $$ r<h-w: \qquad P_1(r,h) = 0 $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/8/478b311c8bfef434b9482852c5f91cfd82.png)
![$$ r \in [h-w,h+w]: \qquad P_2(r,h) = \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right)}{\pi} $$ $$ r \in [h-w,h+w]: \qquad P_2(r,h) = \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right)}{\pi} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/b/5eb7af07b2ca5a782861e44d4516544382.png)
![$$ r \in [h+w;1]: \qquad P_3(r,h) = \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right) - \arccos\left(\frac{h+w}{r}\right)}{\pi} $$ $$ r \in [h+w;1]: \qquad P_3(r,h) = \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right) - \arccos\left(\frac{h+w}{r}\right)}{\pi} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/4/1d440afd6faf76168a9abfb0925188f782.png)
Случай второй
![$h<w$ $h<w$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58ce582b42998ddee1c3a4709a66a33082.png)
:
![$$ r<w-h: \qquad P_4(r,h) = 1 $$ $$ r<w-h: \qquad P_4(r,h) = 1 $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/7/9a71a7e1bdfbad6c9da2772b00a08fc482.png)
![$$ r \in [w-h,h+w]: \qquad P_5(r,h) = 1 - \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right)}{\pi} $$ $$ r \in [w-h,h+w]: \qquad P_5(r,h) = 1 - \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right)}{\pi} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/f/d0f429d3b2de9bb4f2087326984f616e82.png)
![$$ r \in [h+w;1]: \qquad P_6(r,h) =1 - \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right) + \arccos\left(\frac{h+w}{r}\right)}{\pi} $$ $$ r \in [h+w;1]: \qquad P_6(r,h) =1 - \frac{\arccos\left(\frac{h-w}{r}\right) + \arccos\left(\frac{h+w}{r}\right)}{\pi} $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/7/7e7e769e6ff3746b2600679a0474de8882.png)
Данные формылы возникли из рассмотрения вопроса о том, какая часть окружности заданного радиуса
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
лежит на полосе ширины 2
![$w$ $w$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31fae8b8b78ebe01cbfbe2fe5383262482.png)
, находящейся на расстоянии
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
от центра окружности.
Теперь для нахождения равновесия Нэша найдем такую функцию распределения вероятностей
![$p(r)$ $p(r)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/e/93ed3c31233e5d3d717b40c835b89bbb82.png)
для пирата, что математическое ожидание нахождения клада не зависело от выбора пути самолетом. Тогда самолет также выберет смешанную стратегию, уравнивающую матожидание выйгрыша пирата, и будет достигнуто равновесие Нэша. Данная функция должна удовлетворять следующим уравнениям (где
![$C$ $C$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/3/9b325b9e31e85137d1de765f43c0f8bc82.png)
некоторая константа) :
![$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\int\limits_{0}^{h-w} P_1(r,h)p(r)\,dr + \int\limits_{h-w}^{h+w} P_2(r,h)p(r)\,dr +\int\limits_{h+w}^{1} P_3(r,h)p(r)\,dr = C \qquad \qquad \forall h>w\\
\int\limits_{0}^{w-h} P_4(r,h)p(r)\,dr + \int\limits_{w-h}^{h+w} P_5(r,h)p(r)\,dr +\int\limits_{h+w}^{1} P_6(r,h)p(r)\,dr = C \qquad \qquad \forall h<w\\
\end{array}
\right.
$$ $$
\left\{
\begin{array}{ll}
\int\limits_{0}^{h-w} P_1(r,h)p(r)\,dr + \int\limits_{h-w}^{h+w} P_2(r,h)p(r)\,dr +\int\limits_{h+w}^{1} P_3(r,h)p(r)\,dr = C \qquad \qquad \forall h>w\\
\int\limits_{0}^{w-h} P_4(r,h)p(r)\,dr + \int\limits_{w-h}^{h+w} P_5(r,h)p(r)\,dr +\int\limits_{h+w}^{1} P_6(r,h)p(r)\,dr = C \qquad \qquad \forall h<w\\
\end{array}
\right.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/1/761f3b5aa1980d5d1e807ad6b7b8552c82.png)
Я не знаю как подступиться к решению данной системы. Мне интересно, нет ли более простого решения у подобных задач.