Понятие фактор-группы

[bayah]

В курсе по теории групп который я смотрю есть задача, а перед ней такая вводная:

Цитата:

Напомним, что $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ обозначает фактор-группу группы $\mathbb{Z}$ с операцией сложения по подгруппе $n\mathbb{Z}$, состоящей из целых чисел, делящихся на $n$. Нетрудно видеть, что элементы $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ можно отождествить с остатками, которые целые числа по модулю $n$, и операция на этих элементах — это в точности вычисление остатка от суммы остатков по модулю $n$. Однако остатки по модулю $n$ можно не только складывать, но и умножать. То есть на $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ есть еще вторая операция — умножение смежных классов: $(x+n\mathbb{Z})(y+n\mathbb{Z})=xy+n\mathbb{Z}$ . Ясно, что остаток $1$ (т.е. класс $1+n\mathbb{Z}$ ) будет нейтральным элементом для этой операции, но вообще $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ с операцией умножения - не группа, так как, например, остаток $0$ не имеет обратного. Обозначим через $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ подмножество $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, состоящее из всех обратимых остатков, т.е. таких остатков $x$ по модулю $n$, для которых найдется остаток $y$, такой что $xy$ дает остаток $1$ по модулю $n$. Например, $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^*=\{1,2\}$ и $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^*=\{1,3,5,7\}$ (для краткости мы пишем сам остаток вместо всего класса). Множество $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ с операцией умножения остатков является группой (проверьте это!).

Вот тут сразу начинаются вопросы:
В лекциях курса понятие фактор-группы вводится как произведение смежных классов (которое определено как умножение по Минковскому) по нормальной подгруппе. Или если формально, то как и в википедии:
Пусть $G$ — группа, $H$ — её нормальная подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности $H$ в $G$
$aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}$
можно ввести умножение:
$(aH)(bH)=abH$
Тогда $G/H$ называется факторгруппой $G$ по $H$.

1). Так вот, мне не понятно, что за произведение такое которое вводится на множестве фактор-группы? Это всмысле групповая операция исходной группы $G$?
Потому что если обратить к цитируемому мной выше тексту, то что такое

Цитата:

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ обозначает фактор-группу группы $\mathbb{Z}$ с операцией сложения по подгруппе $n\mathbb{Z}$, состоящей из целых чисел, делящихся на $n$.

То есть если рассматривать аддитивную группу $(\mathbb Z, +)$ и построенную на ней факторгруппу $(\mathbb Z/m\mathbb Z, +)$, то операция на ней задается как $(x + H) + (y + H) = (x + y) + H$, где $x, y \in \mathbb Z$ и $H = m\mathbb Z$ ?
Но тогда при чем тут умножение если тут получается "сложение" по Минковскому? Или тут просто "умножение" это общее слово для групповой операции?

2). Тогда я вообще не понимаю что значит вот это:

Цитата:

Однако остатки по модулю $n$ можно не только складывать, но и умножать. То есть на $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ есть еще вторая операция — умножение смежных классов: $(x+n\mathbb{Z})(y+n\mathbb{Z})=xy+n\mathbb{Z}$.

Каким образом тут задается умножение? Откуда вообще у нас умножение в изначально аддитивной группе?

3). В итоге, как вообще задается операция в факторгруппе и является ли этот способ задания операции содержанием определения факторгруппы или это вообще произвольная операция?

[Someone]

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

Это всмысле групповая операция исходной группы $G$?

Это "в смысле" новая операция на новом множестве, которая определяется с помощью старой операции на старом множестве.

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

Каким образом тут задается умножение? Откуда вообще у нас умножение в изначально аддитивной группе?

Ну, положим, $\mathbb Z$ "изначально" кольцо со сложением и умножением, а $n\mathbb Z$ — не только подгруппа аддитивной группы кольца, но и идеал кольца. В результате получается фактор-кольцо.

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

как вообще задается операция в факторгруппе

Именно так, как написано.

[Munin]

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

1). Так вот, мне не понятно, что за произведение такое которое вводится на множестве фактор-группы? Это в смысле групповая операция исходной группы $G$?

Нет, это не может быть групповая операция $G,$ потому что она попросту не применима к смежным классам. Но это новая операция, которая действует на множестве смежных классов, и её надо аккуратно ввести: показать существование результата, однозначность, свойства.

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

Но тогда при чем тут умножение если тут получается "сложение" по Минковскому? Или тут просто "умножение" это общее слово для групповой операции?

Да, "умножение" - это общее слово для групповой операции. Заменяете все значки умножения на значки сложения, и получаете те же формулы в аддитивной нотации.

Чаще всего для групп употребляется мультипликативная нотация (обозначения):

$a\cdot b$ или чаще $ab$ - групповая операция - "умножение" или "произведение";
$e$ - нейтральный элемент - "единичный", "единица"; значок $1$ употребляется в кольцах и числовых системах;
$a^{-1}$ - обратный элемент;
$a^n,a^{-n}$ - итерация умножения элемента, или его обратного, на самого себя.

Для абелевых групп часто употребляется аддитивная нотация:

$a+b$ - групповая операция;
$0$ (иногда $o,n$) - нейтральный элемент;

надо соблюдать осторожность, потому что в других ситуациях это может быть элемент-поглотитель (как 0 для умножения), "ноль" или "нуль";
$-a$ - обратный элемент;     $a-b=a+(-b)=(-b)+a$ - сокращённая запись операции с обратным элементом;
$na,-na$ - итерация групповой операции.

Термины "сложение, сумма, ноль" употребляются реже и осторожней. Аддитивная нотация часто встречается внутри колец и модулей (в том числе, векторных пространств).

Когда хотят подчеркнуть непривычность групповой операции, могут употреблять такую нотацию:

$a\circ b$ - групповая операция - "композиция", как композиция отображений;
$\mathrm{id},\mathrm{Id}$ (иногда, но часто $e$) - нейтральный элемент - обозначение как у тождественного отображения.

Кроме того, для многих конкретных групп, возникающих в других разделах математики, используются их собственные обозначения. Обозначения для обратного и для итерации часто повторяют мультипликативную или аддитивную нотацию, даже если значок для операции другой. Ещё бывают обратные типа $\tilde{a},\bar{a},$ встречаются итерации типа $a^{\circ n}.$

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

Каким образом тут задается умножение? Откуда вообще у нас умножение в изначально аддитивной группе?

Здесь вас исподтишка переводят из групп в кольца. $\mathbb{Z}$ - не только группа по сложению, но и кольцо с обычными операциями сложения и умножения. И оказывается, что на множестве классов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ тоже можно ввести две операции, вместе образующие кольцо.

Если вы пока колец не изучаете - пропустите это место. Хотя если вы изучаете арифметику остатков - наоборот, внимательнейше разберитесь.

bayah в сообщении #1381760 писал(а):

3). В итоге, как вообще задается операция в факторгруппе и является ли этот способ задания операции содержанием определения факторгруппы или это вообще произвольная операция?

Вам сказали как.

Берёте представителя из одного класса смежности, и представителя из другого. Делаете между ними групповую операцию (старой группы $G$). И смотрите, в какой третий класс смежности попал результат. Называете это "результатом операции между двумя классами смежности". Проверяете, что этот результат не зависит от выборов представителей.

[Misuzu]

Лучше почитайте учебник Aluffi "Algebra Chapter 0". Там про фактор-множества говорится, что отношение эквивалентности на множестве можно считать отношением равенства в фактор-множестве, и далее обещают рассказать о категорной формулировке этого утверждения. Другими словами, фактор позволяет превратить отношение эквивалентности в равенство. Краткий и точный подход Алуффи мне больше нравится.

[bayah]

Munin в сообщении #1381817 писал(а):

Нет, это не может быть групповая операция $G,$ потому что она попросту не применима к смежным классам. Но это новая операция, которая действует на множестве смежных классов, и её надо аккуратно ввести: показать существование результата, однозначность, свойства.

Вообще, тут же сами смежные классы получается уже задают операцию - наша операция - умножение множеств по Минковскому, а смежные классы и есть умножение множеств - одно из которых одноэлементное.

Или это не важно как мы введем это операцию? Я вот этот момент не улавливаю. В чем наша свобода ввести операцию на фактормножестве?
То есть, можем мы, например, как-то иначе ввести умножение на фактормножестве, ну чтобы конечно также получалась факторгруппа?

Misuzu в сообщении #1382461 писал(а):

Здесь вас исподтишка переводят из групп в кольца. $\mathbb{Z}$ - не только группа по сложению, но и кольцо с обычными операциями сложения и умножения. И оказывается, что на множестве классов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ тоже можно ввести две операции, вместе образующие кольцо.

Да, именно что иcподтишка, похоже.

Цитата:

Однако остатки по модулю $n$ можно не только складывать, но и умножать. То есть на $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ есть еще вторая операция — умножение смежных классов: $(x+n\mathbb{Z})(y+n\mathbb{Z})=xy+n\mathbb{Z}$ . Ясно, что остаток $1$ (т.е. класс $1+n\mathbb{Z}$ ) будет нейтральным элементом для этой операции, но вообще $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ с операцией умножения - не группа, так как, например, остаток $0$ не имеет обратного.

Вот этот момент не понятен все таки. Как мы определили это умножение. Если перемножить раскрывая скобки, то получится
$(x+n\mathbb{Z})(y+n\mathbb{Z})=xy+xn\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}y + n\mathbb{Z}$. Не понятно куда делось $xn\mathbb{Z}$ и $n\mathbb{Z}y$. Или тут просто мне нужно кольца изучить?

Munin в сообщении #1381817 писал(а):

Берёте представителя из одного класса смежности, и представителя из другого. Делаете между ними групповую операцию (старой группы $G$). И смотрите, в какой третий класс смежности попал результат. Называете это "результатом операции между двумя классами смежности". Проверяете, что этот результат не зависит от выборов представителей.

Как смотреть в какой класс попал результат и зачем? Ну в какой-то смежный класс.
А зачем проверять? Разве эта независимость не доказана в общем смыле?

[Dragon27]

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Вот этот момент не понятен все таки. Как мы определили это умножение.

Да точно так же как на группе:

Munin в сообщении #1381817 писал(а):

Берёте представителя из одного класса смежности, и представителя из другого. Делаете между ними групповую операцию (старой группы $G$). И смотрите, в какой третий класс смежности попал результат. Называете это "результатом операции между двумя классами смежности". Проверяете, что этот результат не зависит от выборов представителей.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Как смотреть в какой класс попал результат и зачем? Ну в какой-то смежный класс.
А зачем проверять? Разве эта независимость не доказана в общем смыле?

А вы попробуйте сами ручками эту операцию провести. Там же ничего сложного

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Не понятно куда делось $xn\mathbb{Z}$ и $n\mathbb{Z}y$.

Если вы операцию прямо на множествах проводите (поэлементно каждый с каждым), то что получится, если сложить, например, $xn\mathbb{Z}$ и $n\mathbb{Z}$?

[arseniiv]

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Или это не важно как мы введем это операцию? Я вот этот момент не улавливаю. В чем наша свобода ввести операцию на фактормножестве?

Ни в чём, потому что мы изначально берём для факторизации только такое отношение эквивалентности, с которым совместима* операция группы (для колец это будут уже две операции кольца, для других алгебраических структур тоже все операции такой структуры). Не очень тривиальным оказывается то, что мы можем задать эту эквивалентность выбором произвольной нормальной подгруппы.

* Операция $a\colon A^n\to A$ совместима с отношением эквивалентности $\sim$ на $A$, если $x_1\sim y_1,\ldots, x_n\sim y_n$ влечёт $a(x_1,\ldots,x_n) \sim a(y_1,\ldots,y_n)$. Это самое слабое условие, необходимое, чтобы мы могли распространить $a$ на классы эквивалентности достаточно естественно: если замена одного элемента $x_i$ класса на другой $y_i$ не выводит результата уже из его класса. (Совместимость можно ещё обобщить, но здесь такое будет совсем уж незачем.)

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

То есть, можем мы, например, как-то иначе ввести умножение на фактормножестве, ну чтобы конечно также получалась факторгруппа?

Если мы введём умножение несогласованно с умножением исходной группы, у новой группы и исходной не будет таких полезных связей.

[Munin]

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

а смежные классы и есть умножение множеств

У вас какая-то путаница. Смежные классы - это множества. Это подмножества множества элементов группы.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Или это не важно как мы введем это операцию? Я вот этот момент не улавливаю. В чем наша свобода ввести операцию на фактормножестве?

По сути, ни в чём, она однозначно фиксирована. Вопрос только в том, корректна ли такая операция вообще. Оказывается, что для некоторых факторизаций корректна - они и называются факторгруппами.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

То есть, можем мы, например, как-то иначе ввести умножение на фактормножестве, ну чтобы конечно также получалась факторгруппа?

Мы можем ввести умножение как-то иначе, и даже так, чтобы получилась группа. Но она не будет факторгруппой, поскольку факторгруппа - это группа в некотором отношении к исходной группе.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Вот этот момент не понятен все таки. Как мы определили это умножение.

Тоже по Минковскому.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Если перемножить раскрывая скобки, то получится
$(x+n\mathbb{Z})(y+n\mathbb{Z})=xy+xn\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}y + n\mathbb{Z}$. Не понятно куда делось $xn\mathbb{Z}$ и $n\mathbb{Z}y$.

Дело в том, что какими бы целыми числами ни были $x$ и $y,$ обязательно будет выполняться

$n\mathbb{Z}y+n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}$ и
$xn\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z},$

так что эти слагаемые просто "поглотились" последним.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Или тут просто мне нужно кольца изучить?

Здесь пока достаточно знаний обычной арифметики целых чисел. Но полезно, если вы уже знакомы с арифметикой остатков. По сути, вам здесь вводится именно арифметика остатков, но на более концептуально высоком уровне.

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

Как смотреть в какой класс попал результат и зачем? Ну в какой-то смежный класс.

Ну так это же и будет определять вам результат операции.

[Munin]

bayah в сообщении #1382484 писал(а):

А зачем проверять? Разве эта независимость не доказана в общем смыле?

Можно для примера взять группу $S_3,$ и разбиение её на три класса смежности. (Пример Савватеева, курс Теория групп, лекция 4: https://www.youtube.com/watch?v=OgQSmqZABVY )

[Munin]

Ещё небольшое наглядное введение в кольца остатков:
Савватеев. Кольца остатков. ("ПанМатематика" 32.)
https://www.youtube.com/watch?v=LZB8mytPWlk (видео 13 минут)

[bayah]

Munin в сообщении #1382493 писал(а):

У вас какая-то путаница. Смежные классы - это множества. Это подмножества множества элементов группы.

Ну да, но их же можно записать как $gH$, где $H \leqslant G$, $g \in G$ и $G$ - группа. А $gH = \{gh | \forall h \in H \}$. Ну то есть вот смежный класс и получается каким же умножением по Минковскому, которым пользуемся когда вводим операцию на фактормножестве. Я не говорю о том что произведение по Минковскому как-то определено как операция в группе, если вы об этом.

Munin в сообщении #1382493 писал(а):

Дело в том, что какими бы целыми числами ни были $x$ и $y,$ обязательно будет выполняться
$n\mathbb{Z}y+n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z}$ и
$xn\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=n\mathbb{Z},$ так что эти слагаемые просто "поглотились" последним.

Ну да...
А почему тогда вот в этом видео исчезновение слагаемых $n\mathbb{Z}y$, $xn\mathbb{Z}$ объясняется через необходимость двустороннего идеала ( если что я с этим понятием не знаком еще):
https://youtu.be/bZHiUaoZQCM?list=PL9tBjA4l_3lbtujnL-t1l345_eqt5CbHd&t=77 (таймкод)

Munin в сообщении #1382515 писал(а):

bayah в сообщении #1382484

писал(а):
А зачем проверять? Разве эта независимость не доказана в общем смыле?
Можно для примера взять группу $S_3,$ и разбиение её на три класса смежности. (Пример Савватеева, курс Теория групп, лекция 4: https://www.youtube.com/watch?v=OgQSmqZABVY
)

Вы имеете ввиду, что там получилось, что некий левый смежный класс не равен правому?
Так если по условию мы факторгруппу строим по нормальной подгруппе, то левое и правое разбиение совпадут.
Или я не понял в чем именно ваш аргумент?

Я к тому, что вы писали, что задав операцию на фактормножестве мы проверяем

Munin в сообщении #1381817 писал(а):

что этот результат не зависит от выборов представителей.

Ну для конкретной группы мы же уже не проверяем это. Это из общей конструкции факторгруппы следует. Ну а там мы доказываем, да, что от выбора представителей результат не зависит.

[Munin]

bayah в сообщении #1382570 писал(а):

Ну то есть вот смежный класс и получается каким же умножением по Минковскому

Смежный класс получается умножением - не значит. что он сам является умножением. Сам он является произведением. Не процессом умножения, а его результатом.

bayah в сообщении #1382570 писал(а):

А почему тогда вот в этом видео исчезновение слагаемых $n\mathbb{Z}y$, $xn\mathbb{Z}$ объясняется через необходимость двустороннего идеала ( если что я с этим понятием не знаком еще)

Во-первых, вам это пока рано. Когда вам начнут рассказывать теорию колец, тогда этим и займётесь. (Хотя иногда наоборот, теорию колец рассказывают перед теорией групп.)

Во-вторых, $\mathbb{Z}$ - кольцо коммутативное, то есть умножение в нём коммутативное, правое и левое совпадают, и идеалы тоже совпадают: правый является левым является двусторонним. То есть, эти условия выполнены, и о них даже не надо задумываться.

bayah в сообщении #1382570 писал(а):

Вы имеете ввиду, что там получилось, что некий левый смежный класс не равен правому?

Не только. Произведение по Минковскому неких левых смежных классов вообще не равно никакому смежному классу.

bayah в сообщении #1382570 писал(а):

Так если по условию мы факторгруппу строим по нормальной подгруппе, то левое и правое разбиение совпадут.

Вот к этому вас и подводят - к тому, чтобы найти условия, когда факторизация корректна, и эти условия становятся формулировкой, что такое нормальная подгруппа. Но нельзя использовать "знания из будущего". Это нарушение логической цепочки построения теории. Рассуждая таким образом, вы легко пойдёте по кругу.

bayah в сообщении #1382570 писал(а):

Это из общей конструкции факторгруппы следует. Ну а там мы доказываем, да, что от выбора представителей результат не зависит.

Фух, значит, всё-таки доказываете.