1). Так вот, мне не понятно, что за произведение такое которое вводится на множестве фактор-группы? Это в смысле групповая операция исходной группы
?
Нет, это не может быть групповая операция
потому что она попросту не применима к смежным классам. Но это новая операция, которая действует на множестве смежных классов, и её надо аккуратно ввести: показать существование результата, однозначность, свойства.
Но тогда при чем тут умножение если тут получается "сложение" по Минковскому? Или тут просто "умножение" это общее слово для групповой операции?
Да, "умножение" - это общее слово для групповой операции. Заменяете все значки умножения на значки сложения, и получаете те же формулы в аддитивной нотации.
Чаще всего для групп употребляется мультипликативная нотация (обозначения):
или чаще - групповая операция - "умножение" или "произведение";
- нейтральный элемент - "единичный", "единица"; значок употребляется в кольцах и числовых системах;
- обратный элемент;
- итерация умножения элемента, или его обратного, на самого себя.
Для абелевых групп часто употребляется аддитивная нотация:
- групповая операция;
(иногда ) - нейтральный элемент;
надо соблюдать осторожность, потому что в других ситуациях это может быть элемент-поглотитель (как 0 для умножения), "ноль" или "нуль";
- обратный элемент; - сокращённая запись операции с обратным элементом;
- итерация групповой операции.
Термины "сложение, сумма, ноль" употребляются реже и осторожней. Аддитивная нотация часто встречается внутри колец и модулей (в том числе, векторных пространств).
Когда хотят подчеркнуть непривычность групповой операции, могут употреблять такую нотацию:
- групповая операция - "композиция", как композиция отображений;
(иногда, но часто ) - нейтральный элемент - обозначение как у тождественного отображения.
Кроме того, для многих конкретных групп, возникающих в других разделах математики, используются их собственные обозначения. Обозначения для обратного и для итерации часто повторяют мультипликативную или аддитивную нотацию, даже если значок для операции другой. Ещё бывают обратные типа
встречаются итерации типа
Каким образом тут задается умножение? Откуда вообще у нас умножение в изначально аддитивной группе?
Здесь вас исподтишка переводят из групп в кольца.
- не только группа по сложению, но и кольцо с обычными операциями сложения и умножения. И оказывается, что на множестве классов
тоже можно ввести две операции, вместе образующие кольцо.
Если вы пока колец не изучаете - пропустите это место. Хотя если вы изучаете арифметику остатков - наоборот, внимательнейше разберитесь.
3). В итоге, как вообще задается операция в факторгруппе и является ли этот способ задания операции содержанием определения факторгруппы или это вообще произвольная операция?
Вам сказали как.
Берёте представителя из одного класса смежности, и представителя из другого. Делаете между ними групповую операцию (старой группы
). И смотрите, в какой третий класс смежности попал результат. Называете это "результатом операции между двумя классами смежности". Проверяете, что этот результат не зависит от выборов представителей.