Самое короткое доказательство

[Damonov]

Теорема.
Уравнение $a^3 +b^3 = c^3$ не имеет решений в действительных числах $a, b, c$.

Доказательство.

Примем для удобства $a < b < c$.

Запишем исходное уравнение в виде:

(1) $a^3 + 8(b/2)^3 = 27(c/3)^3$

Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ является наименьшим.

Случай 1. Число $a^3$ является наименьшим среди трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3.$

Случай 2. Число $(b/2)^3$ является наименьшим.

Случай 3. Число $(c/3)^3$ является наименьшим.

Запишем равенство:

(2) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

(3) $[a^3 - 3(c/3)^3] + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3]=0$

Выражения в квадратных скобках должны быть обратными по знаку: если $[a^3 -3(c/3)^3] > 0$, то [(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 0, и наоборот.

Случай 1. Число $a^3$ не может быть самым маленьким, т.к. в этом случае $[a^3 -3(c/3)^3] < 0$, но тогда вторая скобка положительна, и, следовательно, $b > c$, что невозможно.

Случай 2. Число $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким, т.к. в этом случае $[(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 0$, но тогда $a > c$, что невозможно.

Случай 3. Число $(c/3)^3$ не может быть наименьшим, т.к. в этом случае оно либо больше числа $a^3$, либо больше числа $(b/2)^3$.

Остаётся единственный вариант: все три числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ одинаковы, откуда следует, что куб $c^3$ превосходит по величине суммарную величину $a^3 + b^3$ ровно в три раза.

Окончательный вывод/ Если числа $a, b, c$ являются действительными, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов:

$a^3 + b^3 < c^3$

Возникает вопрос: что такое действительное число?
В математике нет соответствующей дефиниции, позволяющей однозначным образом отличать действительное число (да-А) от не действительного числа (не-А).
Дихотомическая логика предлагает решение, позволяющее устранить существующий пробел. Однако для этого надо открывать новую тему. Позволительно ли на данном форуме обсуждать вопросы, связанные с определением понятия "действительное число"?

[wrest]

Damonov в сообщении #1381533 писал(а):

Позволительно ли на данном форуме обсуждать вопросы, связанные с определением понятия "действительное число"?

Что тут обсуждать, действительные (вещественные) числа строятся в любом курсе матана с самого его начала.

Damonov в сообщении #1381533 писал(а):

Если числа $a, b, c$ являются действительными, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов:

$a^3 + b^3 < c^3$

Что за бред, берем $a=2;b=3;c=\sqrt[3]{35}$ и тогда $a^3+b^3=c^3$

[Lia]

Damonov
Блокировка две недели за третье дублирование закрытой темы и безграмотность.

Если это продолжится, то следующий бан будет бессрочным.