2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Самое короткое доказательство
Сообщение13.03.2019, 10:59 


22/02/19

15
Теорема.
Уравнение $a^3 +b^3 = c^3$ не имеет решений в действительных числах $a, b, c$.

Доказательство.

Примем для удобства $a < b < c$.

Запишем исходное уравнение в виде:

(1) $a^3 + 8(b/2)^3 = 27(c/3)^3$

Рассуждения сводятся к выяснению вопроса о том, какое из трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ является наименьшим.

    Случай 1. Число $a^3$ является наименьшим среди трёх чисел $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3.$
    Случай 2. Число $(b/2)^3$ является наименьшим.
    Случай 3. Число $(c/3)^3$ является наименьшим.

Запишем равенство:

(2) $3(c/3)^3 + 24(c/3)^3 = 27(c/3)^3$

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):

(3) $[a^3 - 3(c/3)^3] + 8[(b/2)^3 -3(c/3)^3]=0$

Выражения в квадратных скобках должны быть обратными по знаку: если $[a^3 -3(c/3)^3] > 0$, то [(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 0, и наоборот.

Случай 1. Число $a^3$ не может быть самым маленьким, т.к. в этом случае $[a^3 -3(c/3)^3] < 0$, но тогда вторая скобка положительна, и, следовательно, $b > c$, что невозможно.

Случай 2. Число $(b/2)^3$ не может быть самым маленьким, т.к. в этом случае $[(b/2)^3 -3(c/3)^3] < 0$, но тогда $a > c$, что невозможно.

Случай 3. Число $(c/3)^3$ не может быть наименьшим, т.к. в этом случае оно либо больше числа $a^3$, либо больше числа $(b/2)^3$.

Остаётся единственный вариант: все три числа $a^3, (b/2)^3, (c/3)^3$ одинаковы, откуда следует, что куб $c^3$ превосходит по величине суммарную величину $a^3 + b^3$ ровно в три раза.

Окончательный вывод/ Если числа $a, b, c$ являются действительными, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов:

$a^3 + b^3 < c^3$

Возникает вопрос: что такое действительное число?
В математике нет соответствующей дефиниции, позволяющей однозначным образом отличать действительное число (да-А) от не действительного числа (не-А).
Дихотомическая логика предлагает решение, позволяющее устранить существующий пробел. Однако для этого надо открывать новую тему. Позволительно ли на данном форуме обсуждать вопросы, связанные с определением понятия "действительное число"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Самое короткое доказательство
Сообщение13.03.2019, 11:22 


05/09/16
9460
Damonov в сообщении #1381533 писал(а):
Позволительно ли на данном форуме обсуждать вопросы, связанные с определением понятия "действительное число"?

:facepalm: Что тут обсуждать, действительные (вещественные) числа строятся в любом курсе матана с самого его начала.
Damonov в сообщении #1381533 писал(а):
Если числа $a, b, c$ являются действительными, величина большого куба превосходит сумму двух малых кубов:

$a^3 + b^3 < c^3$

Что за бред, берем $a=2;b=3;c=\sqrt[3]{35}$ и тогда $a^3+b^3=c^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Самое короткое доказательство
Сообщение13.03.2019, 11:41 
Модератор


20/03/14
11521
 !  Damonov
Блокировка две недели за третье дублирование закрытой темы и безграмотность.

Если это продолжится, то следующий бан будет бессрочным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group