1-2+3-4+...

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1379925 писал(а):

Помогите найти ошибку при нахождении суммы $1+2+3+...$
Для начала найдем smooth sum $\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-\epsilon n}=\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\epsilon n} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\epsilon n}=(\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2})(\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{\epsilon^2}-\frac{1}{4} $
Отбрасывая $\frac{1}{\epsilon^2}$, получаем значение $-\frac{1}{4}$, а не $-\frac{1}{12}$

Ну вы и суммы считать разучились. Что меня почему-то даже не удивляет.

-- Вт мар 05, 2019 20:25:53 --

Кстати, \varepsilon при маленьком размере шрифта меньше путается с $e$.

-- Вт мар 05, 2019 20:31:04 --

(Оффтоп)

Сижу и хихикаю на эту страницу.

[Sicker]

arseniiv
А что не так то?

[arseniiv]

Можно ещё раз, чему равна сумма $\sum_{n=0}^\infty e^{-\varepsilon n}$? Ну или чему равна сумма $\sum_{n=0}^\infty a^n$, $|a|<1$.

[Sicker]

arseniiv
А, кажись понял Я срезал малые порядки малости
$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\varepsilon n}=\frac{1}{1-e^{-\varepsilon}}=\frac{1}{\varepsilon-\frac{\varepsilon^2}{2}+\frac{\varepsilon^3}{6}}=\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon}{2}$
Тогда произведение будет $(\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon}{2})(\frac{1}{\varepsilon}-\frac{1}{2}-\frac{\varepsilon}{2})=\frac{1}{\varepsilon^2}-\frac{5}{4}+\frac{\varepsilon^2}{4}$
Все равно не сходится

[Ms-dos4]

Sicker
Вообще-то ${1 \over {1 - {e^{ - \varepsilon }}}} = {1 \over \varepsilon } + {1 \over 2} + {\varepsilon \over {12}} + O({\varepsilon ^2})$, каким образом у вас там $ - {\varepsilon \over 2}$ - загадка.

[arseniiv]

Sicker
Вы не срезайте-то раньше времени. Или аккуратнее обращайтесь с тем, что обрезали (явно обозначайте порядок малости обрезанного куска и при манипуляциях учитывайте, что с ним происходит). Видимо, где-то в промежуточных вычислениях так сделали и получили лишь часть слагаемого.

[Sicker]

Ms-dos4
arseniiv
Да, я забыл $\varepsilon^3$ поделить на 6
Ну все равно получается, если брать с точностью до первого порядка малости
$\frac{1}{\varepsilon-\frac{\varepsilon^2}{2}+\frac{\varepsilon^3}{6}}=\frac{1}{\varepsilon}\frac{1}{1-\frac{\varepsilon}{2}}\frac{1}{1+\frac{\varepsilon^2}{6}}=\frac{1}{\varepsilon}(1+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{2})(1-\frac{\varepsilon^2}{6})=\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{2}+\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{6}=\frac{1}{\varepsilon}+\frac{1}{2}+\frac{\varepsilon}{3}$
Где ошибка?

[Ms-dos4]

Sicker
${1 \over {1 - {\varepsilon \over 2}}} = 1 + {\varepsilon \over 2} + {{{\varepsilon ^2}} \over 4} + O({\varepsilon ^3})$ а не $1 + {\varepsilon \over 2} + {{{\varepsilon ^2}} \over 2}$ как у вас. Посчитайте уже аккуратно, и все получится, цирк нужно прекращать.

[Sicker]

Ms-dos4
Ух ёёёмоё
Я забыл поделить на 2 в этом ряде Тейлора
Неужели я таким рассеянным стал

-- 06.03.2019, 13:27 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1380034 писал(а):

Вы не срезайте-то раньше времени.

Как оказалось, срезал я там все правильно

-- 06.03.2019, 13:34 --

Тогда все получается, да $\frac{1}{\varepsilon^2}-\frac{1}{12}$

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1379524 писал(а):

Там же прям под картинкой ссылка на пост Тао
.

Я не очень понял его предпоследнюю формулу до формулы (25), как он от $N^{1-s}$ избавился?

[Sicker]

arseniiv
Someone
mihaild
Ms-dos4
Я так понимаю методом сглаживания можно суммировать только ряды дзета-функции, и их сумм и произведений, а в общем случае так сделать нельзя, потому что не понятно как выделить $\frac{1}{\varepsilon^n}$, верно? А можно тогда формально взять корень из ряда $1+1+1+...$, и получить квадратные корни из эпсилонов с нулевой "не эпсилоновой" частью, т.е. сумму ряда ноль. Так можно сделать? Раз он например ряды $1+2+3+...$ и $1+1+1+...$ складывает, хотя сумма такого ряда не дзета-функция.

arseniiv в сообщении #1379800 писал(а):

Смотрите на формулу асимптотического разложения

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n \eta(n/N) = -\frac{1}{12} + C_{\eta,1} N^2 + O(\frac{1}{N}) \ \ \ \ \ (12)$$

(код прям оттуда). Если отбросить $O(\frac1N)$, то мы получим подобную параболу. И между прочим в той же статье из англовики есть раздел #Cutoff_regularization
, в котором проделывается то же.

(Для кое-кого, кто потенциально не вчитывается, $N$ — вещественное число.)

Сразу же возникает вопрос, с чего вы взяли, что $N$ это то отложено по оси абцисс на графике частичных сумм? Вроде этот параметр в нашем выражении вообще равен бесконечности над значком сигма.
И еще вопрос, даже если и так, то если мы рассмотрим ряд 1+1+1+..., то его асимптоту можно просто провести, не зная даже об асимптотическом разложении по Тао, просто проведя по симметрии. Это совпадение?

-- 11.03.2019, 16:00 --

И предпоследний вопрос тоже в силе

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1381155 писал(а):

Я так понимаю методом сглаживания можно суммировать только ряды дзета-функции, и их сумм и произведений, а в общем случае так сделать нельзя, потому что не понятно как выделить $\frac{1}{\varepsilon^n}$, верно?

Я не вдавался в этот вопрос во всей общности, благо для вашей конкретной постановки был текст, но не вижу причин, почему должно быть так как вы пишете.

Sicker в сообщении #1381155 писал(а):

Сразу же возникает вопрос, с чего вы взяли, что $N$ это то отложено по оси абцисс на графике частичных сумм? Вроде этот параметр в нашем выражении вообще равен бесконечности над значком сигма.

Перечитайте пост Тао и тот кусок из англовики, значит. Сначала мы рассматриваем последовательность частичных сумм $S_n$, берём функцию вещественного аргумента $s(N) = S_{\lfloor N\rfloor}$, затем обобщаем последнюю до сглаженной, чтобы ситуация стала лучше. $N$ здесь вещественное число.

И $N$ не может быть «равно» бесконечности, как вы понимаете.

Sicker в сообщении #1381155 писал(а):

И еще вопрос, даже если и так, то если мы рассмотрим ряд 1+1+1+...
, то его асимптоту можно просто провести, не зная даже об асимптотическом разложении по Тао, просто проведя по симметрии. Это совпадение?

Надо определить, что такое «по симметрии» и как оно должно быть связано с вопросом вообще.

Про предпоследний я лично ничего писать не буду.

[vicvolf]

Известная монография на эту тему Г. Харди "Расходящиеся ряды" Вам в помощь.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1381174 писал(а):

Перечитайте пост Тао и тот кусок из англовики, значит. Сначала мы рассматриваем последовательность частичных сумм $S_n$, берём функцию вещественного аргумента $s(N) = S_{\lfloor N\rfloor}$, затем обобщаем последнюю до сглаженной, чтобы ситуация стала лучше. $N$ здесь вещественное число.

Где? Он в случае расходящихся рядов сразу берет предел в сумме до бесконечности, умножая на сглаженную функцию. Да и зачем брать в сумме до $N$, это же бессмысленно.

arseniiv в сообщении #1381174 писал(а):

Надо определить, что такое «по симметрии» и как оно должно быть связано с вопросом вообще.

По симметрии это значит равноудаленно от острых концов

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1381183 писал(а):

По симметрии это значит равноудаленно от острых концов

Ну и свяжите теперь так построенную прямую с чем-нибудь. Пока это просто прямая, построенная на основе графика функции достаточно произвольным образом. Не видно, как она должна быть связана с самой функцией, тем более что построение не обобщается почти ни на какую другую функцию.

Sicker в сообщении #1381183 писал(а):

Где? Он в случае расходящихся рядов сразу берет предел в сумме до бесконечности, умножая на сглаженную функцию. Да и зачем брать в сумме до $N$, это же бессмысленно.

Ну значит вы не умеете читать аккуратно. Там не выделено десять абзацев, там всего пара предложений. Тао пишет компактно (и правильно делает).

-- Пн мар 11, 2019 19:51:08 --

Неужели опять придётся листать тему, искать ссылку на пост, искать в нём кусок, копировать его, дооформлять и комментировать тут? Давайте вы всё это сделаете сами с добавлением конкретных вопросов «а что это, а зачем то». Без референса ужасно.