Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...

[Кролик]

Уважаемые математики.
В таблицах рядов и произведений мне удалось найти выражение популярного бесконечного произведения через тета-функцию Якоби:

$$ \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-x^k}{1+x^k} = \theta(1/2,x)\, ,\quad 0 \le x \le 1\, ,\qquad \theta(z,x) \equiv \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\!\exp\left\{\pi i k^2 x + 2 \pi i k z\right\}\, . $$

Не знает ли кто-нибудь из вас представления для бесконечного произведения

$$ \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}\;\;\mbox{?} $$

Заранее спасибо за ссылку.

[TOTAL]

$$ \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-y^k}{1+y^k} $$

[Кролик]

Аргумент $a$ стоит не под степенью.

[Markiyan Hirnyk]

Математика дает простой ответ через $Q-$функцию Почхаммера, которая определяется как бесконечное произведение.

[TOTAL]

Кролик в сообщении #1381086 писал(а):

Аргумент $a$ стоит не под степенью.

Внесите его под степень.

[grizzly]

TOTAL в сообщении #1381105 писал(а):

Внесите его под степень.

Под какую? там их много.

[TOTAL]

grizzly в сообщении #1381110 писал(а):

TOTAL в сообщении #1381105 писал(а):

Внесите его под степень.

Под какую? там их много.

Да, слона не заметил.

[mihiv]

Не совсем уверен, но, мне кажется, можно действовать так, обозначим:

$$F(a,x)=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}, F(1,x)=\theta (\frac 12,x), F(a,x)=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_k(x)a^k. \eqno (1)$$

Полагая в (1) $a=1$ и сравнивая с выражением для $\theta (\frac 12,x),$ получим: $p_k(x)=2(-1)^k\exp \left {\pi ik^2x\right }$.

[Кролик]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1381091 писал(а):

Математика дает простой ответ через $Q-$функцию Почхаммера, которая определяется как бесконечное произведение.

-- Функция Похгаммера даёт тоже самое представление исходного бесконечного произведения. Расчёт по которому натыкается на вычислительные сложности при $q$, близких к единице (если заменить бесконечность большим числом). Кроме того, проблематично дифференцировать и интегрировать подобные произведения...

[Markiyan Hirnyk]

Кролик

Цитата:

Расчёт по которому натыкается на вычислительные сложности при $q$, близких к единице (если заменить бесконечность большим числом). Кроме того, проблематично дифференцировать и интегрировать подобные произведения...

Вас не затруднит привести конкретные числовые примеры для обоснования Ваших высказываний?