2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение10.03.2019, 23:25 
Аватара пользователя
Уважаемые математики.
В таблицах рядов и произведений мне удалось найти выражение популярного бесконечного произведения через тета-функцию Якоби:
$$
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-x^k}{1+x^k} = \theta(1/2,x)\, ,\quad 0 \le x \le 1\, ,\qquad
\theta(z,x) \equiv \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\!\exp\left\{\pi i k^2 x + 2 \pi i k z\right\}\, .
$$Не знает ли кто-нибудь из вас представления для бесконечного произведения
$$
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}\;\;\mbox{?}
$$Заранее спасибо за ссылку.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 05:54 
Аватара пользователя
$$
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-y^k}{1+y^k}
$$

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 08:44 
Аватара пользователя
Аргумент $a$ стоит не под степенью.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 09:25 
Математика дает простой ответ через $Q-$функцию Почхаммера, которая определяется как бесконечное произведение.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 10:20 
Аватара пользователя
Кролик в сообщении #1381086 писал(а):
Аргумент $a$ стоит не под степенью.
Внесите его под степень.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 11:08 
Аватара пользователя
TOTAL в сообщении #1381105 писал(а):
Внесите его под степень.
Под какую? там их много.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 11:35 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1381110 писал(а):
TOTAL в сообщении #1381105 писал(а):
Внесите его под степень.
Под какую? там их много.
Да, слона не заметил.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 16:41 
Не совсем уверен, но, мне кажется, можно действовать так, обозначим:$$F(a,x)=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1-ax^k}{1+ax^k}, F(1,x)=\theta (\frac 12,x), F(a,x)=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_k(x)a^k. \eqno (1)$$ Полагая в (1) $a=1$ и сравнивая с выражением для $\theta (\frac 12,x),$ получим: $p_k(x)=2(-1)^k\exp \left {\pi ik^2x\right }$.

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение11.03.2019, 22:20 
Аватара пользователя
Markiyan Hirnyk в сообщении #1381091 писал(а):
Математика дает простой ответ через $Q-$функцию Почхаммера, которая определяется как бесконечное произведение.
-- Функция Похгаммера даёт тоже самое представление исходного бесконечного произведения. Расчёт по которому натыкается на вычислительные сложности при $q$, близких к единице (если заменить бесконечность большим числом). Кроме того, проблематично дифференцировать и интегрировать подобные произведения...

 
 
 
 Re: Небольшое обобщение известного бесконечного произведения...
Сообщение12.03.2019, 07:58 
Кролик
Цитата:
Расчёт по которому натыкается на вычислительные сложности при $q$, близких к единице (если заменить бесконечность большим числом). Кроме того, проблематично дифференцировать и интегрировать подобные произведения...
Вас не затруднит привести конкретные числовые примеры для обоснования Ваших высказываний?

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group