Аппроксимация функционала от частн. производных

[optimist]

follow_the_sun
Можно взять и такую $f_0$, но удобнее взять просто $f_0=\Pi(y)$, будет проще потом решать ОДУ.

$p_i(y)$ нельзя просто взять многочленами Чебышева, вам нужно, чтобы $f_i(x)p_i(y)$ удовлетворяли однородным граничным условиям.

[follow_the_sun]

optimist
Но ведь для вашей $f_0$ Г.У. выполнены на всем прямоугольнике, а не на сторонах. Или это неважно?

optimist в сообщении #1380824 писал(а):

$p_i(y)$ нельзя просто взять многочленами Чебышева

Да, я помню. Я имею ввиду, при $i=1$ модифицируем первый многочлен?

optimist в сообщении #1380824 писал(а):

нужно, чтобы $f_i(x)p_i(y)$ удовлетворяли однородным граничным условиям.

Тоже на всем прямоугольнике?

[optimist]

follow_the_sun
Странно, что мне приходится писать подобные вещи, но граничные условия должны выполнятся на границах, выполняются ли какие-либо равенства вне границы, это уже другой вопрос, с граничными условиями не имеющий ничего общего.

follow_the_sun в сообщении #1380836 писал(а):

... модифицируем первый многочлен?

Да.

[follow_the_sun]

optimist
Понятно. Просто у нас еще не было ничего подобного. Были только начальные условия в теормеханике и диффурах.

[follow_the_sun]

optimist
Если просто оставить в виде $1\cdot f_1(x)$, то будут выполнены все граничные условия кроме равенства нулю второй производной по $x$. Можно модифицировать как угодно, или надо получать функцию определенного вида? Не совсем очевидно, как надо видоизменить ее, чтобы она все еще оставалась чем-то похожим на первый многочлен Чебышева (константой или линейной функцией по $y$).

[optimist]

follow_the_sun
$1\cdot f_1(x)$ не подходит, так как одно из условий на длинной стороне:

$f_i''(x)p_i\left(\pm\frac{b}{2}\right) = 0$

, у вас же $p_1\left(\pm\frac{b}{2}\right) \neq 0$, а значит необходимо потребовать $f_1''(x) \equiv 0$, то есть $f_1(x)$ - линейная функция. В итоге у вас не осталось свободы на выбор $f_1(x)$, а такого быть не должно, граничные условия должны выполняться при любых $f_1(x)$ (не совсем любых, конечно, от функции $f_1(x)$ удобно будет тоже потребовать выполнения некоторых граничных условий, оставляя при этом вид функции неизвестным).

Аккуратно выпишите все граничные условия для $f_1(x)p_1(y)$ и посмотрите, каким условиям должны удовлетворять отдельно $f_1(x)$ и $p_1(y)$.

[follow_the_sun]

optimist

optimist в сообщении #1380990 писал(а):

$1\cdot f_1(x)$ не подходит, так как одно из условий на длинной стороне

Так я же как раз об этом)

follow_the_sun в сообщении #1380929 писал(а):

выполнены все граничные условия кроме равенства нулю второй производной по $x$

[optimist]

follow_the_sun
Рассмотрите следующий вид функций аппроксимации $p_i(y) = g(y)\hat{p}_i(y)$, где $\hat{p}_i(y)$ - полиномы Чебышева, $g(y)$ - функция, подобранная так, чтобы удовлетворялись граничные условия на длинных сторонах (выполнение ГУ на коротких сторонах будут обеспечивать условия, наложенные на $f_i(x)$).

[follow_the_sun]

optimist
Понял. $g(y)=(y^2-\dfrac{b^2}{4})^2$
Тогда $f=\Pi(y)+(y^2-\dfrac{b^2}{4})^2f_1(x)$
Подставляем ее в функционал, анализируем на экстремум?

[optimist]

follow_the_sun
Да.

В качестве входных данных, можно взять, например, $L=5\text{м}$, $b=1\text{м}$, $\nu=0.34$, $E=200 \cdot 10^9\text{Па}$, $p(y)=k\left(\frac{y}{b}\right)^2$, $k=800 \cdot 10^6\text{Па}$

[follow_the_sun]

optimist
А это все вручную надо преобразовывать , или можно в пакете каком-нибудь? Кстати, какой посоветуете (срок действия пробной версии моего маткада закончился )

[follow_the_sun]

optimist
надо ведь проверять уравнение Эйлера для $f(x)$?

[optimist]

follow_the_sun
Я использую wolfram mathematica, но лицензионную версию достать довольно сложно.

(Оффтоп)

нелицензионную - просто

Из сопоставимых по функционалу есть еще maxima, но я в ней не работал и, как понимаю, в ней сложнее разобраться.

follow_the_sun в сообщении #1381065 писал(а):

надо ведь проверять уравнение Эйлера для $f(x)$?

Если имеется ввиду уравнение Эйлера-Пуассона, то его надо решать.

[follow_the_sun]

optimist
У меня получилось вот такое

DSolve[1/(2e) (-2 k y2+(24 k y4)/b2+2 b4 f[x]-48 b2 y2 f[x]+288 y4 f[x])-2 nu (-(1/16) b6 f′′[x]+5/4 b4 y2 f′′[x]-7 b2 y4 f′′[x]+12 y6 f′′[x])-1/(2g) (2 b4 f′[x]-48 b2 y2 f′[x]+288 y4 f′[x]) -2 nu (-(1/16) b6 f(3)[x]+5/4 b4 y2 f(3)[x]-7 b2 y4 f(3)[x]+12 y6 f(3)[x])+1/(2e)  (1/128 b8 f(4)[x]-1/8 b6 y2 f(4)[x]+3/4 b4 y4 f(4)[x]-2 b2 y6 f(4)[x]+2 y8 f(4)[x])==0,f[x],x]

Причем при решении этого жуткого диффура вольфрам выдает куда более жуткий ответ.

(Оффтоп)

Кстати, очень удобный пакет

[optimist]

follow_the_sun
В финальном ДУ никаких $y$ у вас быть не должно.
И не вижу ничего страшного в линейном ДУ с постоянными коэффициентами, просто приведите подобные (когда исправите ошибку).