Задачка из Пойа

[wrest]

manul91 в сообщении #1380173 писал(а):

Этого не понял... что за две окружности и две точки касания? (если $l_1$ пересекает $l$ то решение только одно)

Нет, окружностей, проходящих через $A$ и $B$ и касающихся $l$ -- две. Уравнение-то квадратное - два корня
Но решением вашей исходной задачи (точка из которой отрезок виден под максимальным углом) является только одна точка касания, пока прямая $AB$ не перпендикулярна $l$ -- тогда решений воистину два, равноправных.

На рисунке выше показаны обе окружности, решением является зеленая.

manul91 в сообщении #1380173 писал(а):

Из теоремы секущих следует $|PA|.|PB|=|PM|^2$ где М - гипотетическая точка касания.
Как из этой пропорции, найти PM циркулем и линейкой?

Ну дык... $|PM|=\sqrt{|PA|\cdot|PB|}$ а это ж... ба! это ж среднегеометрическое!
А оно строится циркулем и линейкой

[manul91]

wrest в сообщении #1380178 писал(а):

Нет, окружностей, проходящих через $A$ и $B$ и касающихся $l$ -- две. Уравнение-то квадратное - два корня
Но решением вашей исходной задачи (точка из которой отрезок виден под максимальным углом) является только одна, точка касания, если только прямая $AB$ не перпендикулярна $l$ -- тогда решений воистину два, равноправны

да усек ; )

wrest в сообщении #1380178 писал(а):

Ну дык... $|PM|=\sqrt{|PA|\cdot|PB|}$ а это ж... ба! это ж среднегеометрическое!
А оно строится циркулем и линейкой

да конечно.. все блин забыл
вот для восьмиклассников https://www.youtube.com/watch?v=PjdGWkNIa54

Теперь осталось допереть как найти $x$, $x^2=kab + pcd$ - циркулем и линейкой - и можно в лоб строить решения - любых квадратных уравнений...

Спасибо за решение, полегчало!

-- 06.03.2019, 20:02 --

manul91 в сообщении #1380183 писал(а):

Теперь осталось допереть как найти $x$, $x^2=kab + pcd$ - циркулем и линейкой - и можно в лоб строить решения - любых квадратных уравнений...

Кажется, допер!

Вводим в сторонку произвольный "единичный отрезок", будем его обозначать $e$.

Это позволит нам находить геометрически отрезки из численных уравнений, которые "нарушают размерность".

Например, нужно найти отрезок $x$ из уравнения $x=ab$ где $a,b$ - известные отрезки.
Чтобы "уравнить размерности", представляем его как $xe=ab$ и находим $x$ (например через талеса).

Теперь понятно как найти отрезок $z$, $z=kab + pcd$ ($k,p$ численные коеффициенты, $a,b,c,d$ - известные отрезки) - разумеется,$z$ будет зависеть от выбранной единицей $e$

Осталось найти $x$ из $x^2=z$
Уравнение $x^2=z$ записываем как $x^2=ez$ чтобы обратно "уравнять размерность" (тем самым возвращаясь к безразмерных единиц и убирая обратно зависимость от искуственно введеного "единичного отрезка" $e$) - и находим $x$ как среднее геометрическое.