Но там ничего хитрого нет.
Если

нечётное, то можно использовать подстановку

; если

нечётное, то

; если

и

оба чётные или оба нечётные, то можно использовать также подстановки

или

. Если

и

оба чётные или оба нечётные, то можно понизить степень переходом к двойному углу и раскрыть скобки (получится сумма интегралов того же вида с меньшими степенями). Как последнее средство, можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку

или

. Какую подстановку лучше применить, нужно смотреть в каждом случае индивидуально.
Но учебники посмотреть всё-таки стоит.