И в известном смысле этот контрпример -- единственный, в остальных случаях будет зависимость.
Пусть

,

и

-- независимые (в совокупности, конечно) и одинаково распределённые величины, даже не обязательно центрированные. Если величины независимы, то а) их степени также независимы и б) матожидания произведений равны произведениям матожиданий. В частности: если предположить, что величины

и

независимы, то должно выполняться
![$M[(XY)^2(YZ)^2]=M[(XY)^2]\cdot M[(YZ)^2]$ $M[(XY)^2(YZ)^2]=M[(XY)^2]\cdot M[(YZ)^2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/f/11fa9309fd2781a18c86ea68c006266182.png)
,
откуда (с учётом независимости и одинаковой распределённости исходных величин)

, где
![$\mu_n\equiv M[X^n]$ $\mu_n\equiv M[X^n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/5/a359b5be60c1e02e45b4bc14ec5b703182.png)
-- начальный момент. Теперь:
![$M[(X^2-\mu_2)^2]=M[X^4-2\mu_2X^2+(\mu_2)^2]=\mu_4-(\mu_2)^2=0$ $M[(X^2-\mu_2)^2]=M[X^4-2\mu_2X^2+(\mu_2)^2]=\mu_4-(\mu_2)^2=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/4/53424dd34b4b63b2d89d53ccfc1ed95082.png)
.
Другими словами, случайная величина

имеет нулевую дисперсию и, значит, с единичной вероятностью принимает некоторое фиксированное значение

. Сама величина

может тем самым принимать только два значения:

или

. Теперь уже прямой счёт показывает, что фактически независимость будет только в двух случаях: когда оба значения принимаются с вероятностью

или когда одно из них принимается с единичной вероятностью, другое -- с нулевой.