Независимые случайные величины

[nullset]

Помогите, пожалуйста с такой задачей.

Известно, что \xi_1, \xi_2, \xi_3 - независимые случайные величины с одним и тем же распределением и нулевым мат. ожиданием.
Будут ли независимыми случайные величины \eta_1=\xi_1\xi_2 и \eta_2=\xi_2\xi_3 ?
Я думаю, что нет, поскольку \xi_2 входит в оба произведения, но как это строго доказать?

[Бодигрим]

nullset писал(а):

Известно, что \xi_1, \xi_2, \xi_3 - независимые случайные величины с одним и тем же распределением и нулевым мат. ожиданием.

Я забыл: в такой словесной формулировке по умолчанию подразумевается попарная независимость или независимость в совокупности?

Цитата:

...но как это строго доказать?

Давайте начнем со строгого определения независимости двух случайных величин. Приведите его, пожалуйста.

[Евгений Машеров]

Рассмотрите, например, такое распределение:
С вероятностью 0.9 принимаем значение -1, с вероятностью 0.1 значение 9.

[nullset]

Цитата:

Давайте начнем со строгого определения независимости двух случайных величин. Приведите его, пожалуйста.

Получается вот что.

Случайные величины $\eta_1$ и $\eta_2$ независимы тогда и только тогда, когда

$$F(x,y)=F_\eta_1(x)F_\eta_2(y),$$

(1)
где $F(x,y) - совместная функция распределения величин \eta_1 и \eta_2, а $F_\eta_1(x), F_\eta_2(y) - соответствующие маргинальные функции распределения.

Рассмотрим условную функцию распределения $F(x,y|\xi_2=z).
$F(x,y|\xi_2=z)=\mathbf{P}(\xi_1z<x)\mathbf{P}(\xi_3z<y)=F_\xi_1\left(\frac x z\right)F_\xi_3\left(\frac y z\right)$, поскольку \xi_1 и \xi_3 независимы.

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} F(x,y|\xi_2=z) dF_\xi_2(z)=\int_{-\infty}^{\infty} F_\xi_1\left(\frac x z\right)F_\xi_3\left(\frac y z\right) dF_\xi_2(z)$

$F_\eta_1(x|\xi_2=z)=F_\xi_1\left(\frac x z \riht)$ и $F_\eta_1(x)=\int_{-\infty}^{\infty} F_\xi_1\left(\frac x z \right) dF_\xi_2(z)$

Аналогично: $F_\eta_2(y)=\int_{-\infty}^{\infty} F_\xi_3\left(\frac y z \right) dF_\xi_2(z)$, то есть (1) не получится.
Таким образом, случайные величины $\eta_1$ и $\eta_2$ - зависимы.

Правильно?

[ewert]

nullset писал(а):

Таким образом, случайные величины $\eta_1$ и $\eta_2$ - зависимы.

Правильно?

Контрпример: пусть каждая из трёх величин принимает только два значения: (-1) и (+1) с вероятностью 0.5.

[ewert]

И в известном смысле этот контрпример -- единственный, в остальных случаях будет зависимость.

Пусть $X$, $Y$ и $Z$ -- независимые (в совокупности, конечно) и одинаково распределённые величины, даже не обязательно центрированные. Если величины независимы, то а) их степени также независимы и б) матожидания произведений равны произведениям матожиданий. В частности: если предположить, что величины $XY$ и $YZ$ независимы, то должно выполняться

$M[(XY)^2(YZ)^2]=M[(XY)^2]\cdot M[(YZ)^2]$,

откуда (с учётом независимости и одинаковой распределённости исходных величин) $\mu_4=(\mu_2)^2$, где $\mu_n\equiv M[X^n]$ -- начальный момент. Теперь:

$M[(X^2-\mu_2)^2]=M[X^4-2\mu_2X^2+(\mu_2)^2]=\mu_4-(\mu_2)^2=0$.

Другими словами, случайная величина $X^2$ имеет нулевую дисперсию и, значит, с единичной вероятностью принимает некоторое фиксированное значение $a^2$. Сама величина $X$ может тем самым принимать только два значения: $(+a)$ или $(-a)$. Теперь уже прямой счёт показывает, что фактически независимость будет только в двух случаях: когда оба значения принимаются с вероятностью ${1\over2}$ или когда одно из них принимается с единичной вероятностью, другое -- с нулевой.

[nullset]

Спасибо большое!