Сумма двух степеней пятёрки, каким прим-алом она может быть?

[Ktina]

Сумма двух степеней пятёрки, каким примориалом она может быть?

Иными словами, требуется решить уравнение в ЦНЧ:

$$5^n+5^m=p_k\#$$

[waxtep]

Пары $(0,0),(0,1)$ и $(1,2)$ понятны, а дальше надо думать, бывают ли еще решения у $\frac1 5p_k\#=5^m+1$

-- 03.03.2019, 04:52 --

Хм-хм, хочется сделать ставку, что а) других решений нет и б) простого доказательства не будет, как в подобных вопросах близости степени и чего-то факториально-примориального

[Yadryara]

Опять выручает арифметический мост.

На $2$ и на $5$ эта сумма разделится всегда.
На $3$ сумма разделится, только если $m$ и $n$ разной чётности.
На $7$ сумма разделится, только если $n=m+6k+3$.
А уже на $11$ никогда не разделится.

Таким образом, остаётся проверить $5^0 + 5^3 = 126 \neq 210$ и $5^1 + 5^4= 630 \neq 210$. Остальные суммы, делящиеся на $7$, уже намного больше, чем $2\cdot3\cdot5\cdot7=210$.

Вывод: других решений нет.

[Yadryara]

waxtep в сообщении #1379490 писал(а):

простого доказательства не будет,

Я не знаю, достаточно ли этого для доказательства, но вот табличка остатков $5^m + 5^n$ по модулю $11$.

\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|c|} \hline \ \; m \quad n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \quad 0 & 2 & 6 & 4 & 5 & 10 \\ \hline \quad 1 & & 10 & 8 & 9& 3 \\ \hline \quad 2 & & & 6 & 7 & 1 \\ \hline \quad 3 & & & & 8 & 2 \\ \hline \quad 4 & & & & & 7 \\ \hline \end{tabular}

Как видим, именно нуля среди них нет, хотя все остальные есть.

Цикл остатков имеет длину $5$. Стало быть, любые(из ОДЗ) $m$ и $n$ можно привести к табличным по модулю $5$. Например,

$5^{312} + 5^{589} \mod 11$ \equiv 5^2 + 5^4 \mod 11$ \equiv 1 \mod 11$.

[Ktina]

waxtep
Yadryara


У меня похожее решение:

Если примориал, больший 30, представим в виде суммы двух степеней пятёрки, то наименьшая из этих степеней должна быть равна $5^1=5$. В этом случае получаем уравнение $5^n+5=p_k\#$, причём $p_k\#\geqslant 210$
Но тогда $5^n$ должен давать остаток 1 при делении на 3 (так как все примориалы, большие 30, кратны 3), а значит $5^n$ является квадратом. Но квадраты не дают остатка 6 при делении на 11 (а все примориалы, превышающие 210, делятся на 11), а число 210 мы проверяем вручную.

Всё верно?

[waxtep]

Yadryara в сообщении #1379505 писал(а):

табличка остатков $5^m + 5^n$ по модулю $11$.

Ой да, то есть достаточно увидеть, что степень пятерки не бывает $10\bmod11$