Здравствуйте! Решаю зачетную задачу по математическому анализу (matlab). Сама задача:
Грузовику предстоит проехать по проселочной дороге, соединяющей населенные пункты M и N, а велосипедисту по шоссе, соединяющей поселки S и Q (направления движения уточнены в вариантах). Если на карте (ее масштаб 1:100000), имеющей форму прямоугольника ABCD, ввести декартову систему координат с осями Ox и Oy (см. рис., изображение условно), то форму дорог с большой точностью можно описать уравнениями
и
(или параметрически:
). Грузовик движется с постоянной скоростью
км/ч, велосипедист – с постоянной скоростью
км/ч.
Часть 1. В полдень грузовик и велосипедист выехали по своим маршрутам. Выясните, с какой разностью во времени грузовик и велосипедист проедут каждую из точек, в которой их маршруты пересекаются.
Часть 2. Постройте графики зависимостей декартовых координат грузовика и велосипедиста в зависимости от времени движения.
Часть 3. Определите моменты времени, в которые при движении по маршрутам грузовик и велосипедист окажутся на минимальном (по прямой) расстоянии друг от друга. Указать координаты их местоположений в этот момент времени.
Пример входных данных:
![$
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
$y = f_1(x)$ & $y = f_2(x)$ & $v_1$ & $v_2$ & $x_M$ & $x_N$ & $t_Q$ & $t_S$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Направление \\ движения\end{tabular} \\
\hline
$y = \cos(x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$y = \cos(t)$\\ $x = \sin(t)$\end{tabular} & $18$ & $30$ & $2$ & $27$ & $0.01\pi$ & $1.1\pi$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N \to M$\\ $Q \to S$ \\ (против ч.с.)\end{tabular}
\end{tabular}
$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/c/2ac4f49076fe97b6fcf58ae6c95fa57982.png "$
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
$y = f_1(x)$ & $y = f_2(x)$ & $v_1$ & $v_2$ & $x_M$ & $x_N$ & $t_Q$ & $t_S$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Направление \\ движения\end{tabular} \\
\hline
$y = \cos(x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$y = \cos(t)$\\ $x = \sin(t)$\end{tabular} & $18$ & $30$ & $2$ & $27$ & $0.01\pi$ & $1.1\pi$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$N \to M$\\ $Q \to S$ \\ (против ч.с.)\end{tabular}
\end{tabular}
$")
Уравнение траектории грузовика суть
.
Уравнение траектории велосипедиста же задано параметрически:
Причем t - не время! а просто параметр, который изменяется в заданном диапазоне.
Первый пункт решил довольно просто: в уравнение грузовика
вместо
подставил
, приравняв равенство к
:
Последнее уравнение просто решается, получаются корни (координаты пересечения траекторий). Затем составляем интегралы (длина дуги кривой). Делим их на скорости - получаем время. Вычитаем одно от другого.
Второй пункт сообразил быстро, но до конца не уверен в правильности реализации. Три варианта решения:
1) Ищем зависимость не координат от времени, а времени от координат. Те задаем какой-нибудь икс. Для него считаем игрек, через интеграл отыскиваем длину дуги. Делим искомую длину на скорость - получаем время (это для грузовика). С автомобилем - аналогично. Так я и сделал - все работает
2) По сути считать интеграл в цикле. Верхняя граница интеграла - неизвестная (ее в цикле подбираем). Время задается изначально. Имеем:
Но тут необходимо ж для всего временного промежутка иксы подбирать (те задавать разное время для построения графика - а под время искать иксы). Крутить цикл в цикле да еще и с маленьким шагом - просто самоубийство. Вряд ли этот вариант пригоден.
3) Посчитать первообразную для интеграла длины дуги. Вспомнить про формулу Ньютона-Лейбница, составить уравнение связи. Но... там ее хрен возьмешь. Не берется интеграл и все тут.
Все ничего - пункт ж решен, хоть и, возможно, криво...
А что с 3 делать? Вот тут я в полном ступоре. Ведь у нас нет явной функции зависимости координат от времени.
Все, что мы имеем из второго пункта - некий набор координат и время под эти координаты. Как быть? Подскажите, пожалуйста!
Прикрепляю скрипт файл решения для матлаба (входные данные у меня другие, не как на второй картинке, но сути не меняет):
https://pastebin.com/raw/0uTFZNBA
