Корректность и точность определения

[situs]

Доброго времени суток!

Что означают в математических текстах фразы "определено корректно" и "определено с точностью", как их правильно понимать?

Цитата:

Определение. Пусть отображение $f \colon A \to B$ является биекцией. Определим обратное отображение $f^{-1}$ из множества $B$ в множество $A$ по правилу $f^{-1}(b) = a$, если $f(a) = b$.

Из свойств биекции следует, что обратное отображение определено и определено корректно.

[mihaild]

Как правило "определено" означает "существует", "определено корректно" означает "существует и единственно" (и соответственно например здесь мы задали конкретное отображение), а "определено с точностью" означает, что все заданные нами структуры эквивалентны по какому-то свойству - например "существует единственное с точностью до изоморфизма пространство со свойством $X$" означает "существует пространство, обладающее свойством $X$; все пространства, обладающие свойством $X$, изоморфны".

[situs]

Спасибо за ответ! То есть что-нибудь может быть "определено корректно с точностью"?

-- 25.02.2019, 14:29 --

А мы можем дать такие определения в случае отображения какого-нибудь множества в множество матриц?

Пусть отображение $f \colon A \to \operatorname{Mat}(A)$ - взаимно-однозначное отображение из пространства $A $ в множество матриц. Из свойств биекции будет следовать, что обратное отображение $f^{-1}$ определено и определено корректно с точностью до элементарных преобразований.

[mihaild]

situs в сообщении #1378325 писал(а):

То есть что-нибудь может быть "определено корректно с точностью"?

Может. Но лучше так не говорить.
(вообще я не очень понимаю, зачем все эти фразы "определено так-то", если можно примерно тем же количеством слов дать более строгие формулировки)

situs в сообщении #1378325 писал(а):

обратное отображение определено и определено корректно с точностью до элементарных преобразований

А откуда тут элементарные преобразования? Матрицы, отличающиеся на элементарное преобразование - это разные матрицы.

[situs]

mihaild в сообщении #1378329 писал(а):

вообще я не очень понимаю, зачем все эти фразы "определено так-то", если можно примерно тем же количеством слов дать более строгие формулировки

Зачем тогда в учебниках такие фразы нужны? Не могли бы привести аналогичные более строгие формулировки?

[mihaild]

Скажем для примера из стартового поста:
Пусть отображение $f: A\to B$ является биекцией. Из свойств биекции следует, что существует и единственно отображение $f^{-1}: B \to A$, такое что $f^{-1}(b) = a \leftrightarrow f(a) = b$. Такое отображение $f^{-1}$ будем называть обратным к $f$.

[situs]

mihaild в сообщении #1378329 писал(а):

А откуда тут элементарные преобразования? Матрицы, отличающиеся на элементарное преобразование - это разные матрицы.

Да это я так с бухты барахты написал. Наверное корректно будет что нибудь вроде этого. Пусть пространство $A$ определяется элементами с точность до гомеоморфизма или изоморфизма. Пусть отображение $f \colon A \to \operatorname{Mat}(A)$ - взаимно-однозначное отображение из пространства $A$ в множество матриц. Определим обратное отображение $f^{-1} \colon \operatorname{Mat}(A) \to A$. Из свойств биекции будет следовать, что $ f^{-1}$ определено и определено корректно с точностью до гомеоморфизма.

-- 25.02.2019, 15:38 --

mihaild в сообщении #1378334 писал(а):

Пусть отображение $f: A\to B$ является биекцией. Из свойств биекции следует, что существует и единственно отображение $f^{-1}: B \to A$, такое что $f^{-1}(b) = a \leftrightarrow f(a) = b$. Такое отображение $f^{-1}$ будем называть обратным к $f$.

Спасибо! Как это всё доказать на строгом уровне? Достаточно показать, что существует биекция, а из этого будет следовать остальное?

[iifat]

situs в сообщении #1378336 писал(а):

определено корректно с точностью до гомеоморфизма

С какой-с какой точностью? Корректно — поскольку такое $f^{-1}$ будет функцией, да притом обратной. А «с точностью» — это с некоторой неоднозначностью. Откуда ей тут взяться?

[mihaild]

situs в сообщении #1378336 писал(а):

Пусть пространство $A$ определяется элементами с точность до гомеоморфизма или изоморфизма

А из чего собственно состоит $A$?

Вообще, зачем вам это нужно? Если непонятна какая-то фраза из учебника / статьи - напишите конкретный пример, попробую объяснить, как понять, что имеется в виду.
Если непонятно, как самостоятельно выписывать такие формулировки - просто не пишите их. Если читать это будет кто-то типа меня - он вам скажет спасибо:)

situs в сообщении #1378336 писал(а):

Как это всё доказать на строгом уровне? Достаточно показать, что существует биекция, а из этого будет следовать остальное?

А это уже зависит от технических деталей - как определяются функция и биекция.

[situs]

Спасибо )

Хочу понять и самостоятельно написать такую формулировку. Когда то же надо учиться!

[mihaild]

Мое мнение - такие формулировки писать вообще не нужно. И уж точно не нужно тратить усилия на то, чтобы учиться их писать - есть куча гораздо более интересных и содержательных штук.