Площадь параболического сектора

[dmd]

Lia
в точности так, как описано в этой статье.
Из середины E отрезка AB, отсекающего сегмент на параболе p, опускается перпендикуляр на директрису d. Точка P пересечения этого перпендикуляра с параболой, позволяет создать треугольник ABP, площадь которого есть $\dfrac{3}{4}$ площади параболического сегмента. Всё это прекрасно видно в активити.

[Igrickiy(senior)]

dmd
Предлагаю вернуться к задаче, поставленной ТС.
Если мы начнём ссылаться на доступную литературу, то задача станет совершено бессмысленной.
Не использовать интегрирование, не использовать никакие математические программы и пакеты.
Ограничиться "физическим" уровнем строгости, считая очевидным (как пример этого уровня строгости), что при малых значениях аргумента $\sin{x}\approx\tg{x}\approx{x}$. Согласиться с тем, что на том же уровне строгости очевидно, что площадь круга есть предел, к которому стремятся последовательности площадей вписанных и описанных правильных многоугольников. Нет сомнения и в том, что если $\forall{n}$ выполняется $a_n=kb_n$, то с необходимостью выполняется и $\sum\limits_{1}^{N}{a_n}=k\sum\limits_{1}^{N}{b_n}$, в том числе и при $N\to\infty$.
Навести необходимый порядок и сделать оценки допускаемых ошибок при острой необходимости всегда можно в дальнейшем.
При этих допущениях отношение площадей красной и зелёной областей как сумм соответствующих малых площадей, одна из которых всегда вдвое больше другой, очевидно равно 2.

[TOTAL]

Igrickiy(senior) в сообщении #1377649 писал(а):

Предлагаю вернуться к задаче, поставленной ТС.

ТС поставил: " без использования интегралов доказать ...".

Очевидно (прямоугольник и треугольник одинаковой высоты), $dS_2=2dS_1$.
Поэтому $S_2=2S_1+C$, $C=0$. Интегралы не использовались.

[Igrickiy(senior)]

TOTAL в сообщении #1377668 писал(а):

Очевидно (прямоугольник и треугольник одинаковой высоты), $dS_2=2dS_1$.
Поэтому $S_2=2S_1+C$, $C=0$. Интегралы не использовались.

TOTAL
С "очевидно" согласен, если мы говорим об одних и тех же элементах и ссылаемся на свойства фокуса и директрисы любой параболы.
Но...
Вы не могли бы более подробно объяснить смысл появления постоянной $C$?

[TOTAL]

Igrickiy(senior) в сообщении #1377561 писал(а):

TOTAL в сообщении #1377511 писал(а):

Если считать известным, что площадь "под параболой" $y=x^2$ в два раза меньше площади "над параболой"

А откуда это следует?
Для простого школьника.

Простой школьник может знать принцип Кавальери.
Тогда, обозначив $P=\int_0^T(xT-x^2)dx$, $Q=\int_0^Tx^2dx$, школьник получит

$$ P=\int_{-T/2}^{T/2}(T^2/4-x^2)dx=\frac18\int_{-T}^{T}(T^2-x^2)dx=\frac14\int_{0}^{T}(T^2-x^2)=\frac14(Q+2P),$ $$

т.е. $Q=2P$. Интегралы здесь использованы только для обозначений частей ненарисованных рисунков.

[Igrickiy(senior)]

TOTAL

TOTAL в сообщении #1378235 писал(а):

Простой школьник может знать принцип Кавальери.

А как быть простым школьникам, которые не знают принципа Кавальери?
(Или тем школьникам, которые знакомы с Кавальери и далеко не простые?)
И второе.
Не хочу быть навязчивым, но очень жду ответ на мой вопрос: Вы не могли бы более подробно объяснить смысл появления у Вас постоянной $C$?
Как она туда проникла?
Какими коридорами мысли?

TOTAL в сообщении #1377668 писал(а):

Очевидно (прямоугольник и треугольник одинаковой высоты), $dS_2=2dS_1$.
Поэтому $S_2=2S_1+C$, $C=0$. Интегралы не использовались.

[TOTAL]

Igrickiy(senior) в сообщении #1378244 писал(а):

Не хочу быть навязчивым, но очень жду ответ на мой вопрос: Вы не могли бы более подробно объяснить смысл появления у Вас постоянной $C$?

Нет, не могу объяснить.

[Legioner93]

А что уважаемые знатоки скажут о следующем факте? Тоже можно без интегралов доказать?

Площадь параболического сегмента зависит только от разницы абсцисс точек и равна $\dfrac{|\Delta x|^3}{6}$

[Igrickiy(senior)]

Legioner93 в сообщении #1378257 писал(а):

Тоже можно без интегралов доказать?

Legioner93
Почему бы и нет?
А что ещё нельзя использовать?

TOTAL в сообщении #1378245 писал(а):

Нет, не могу объяснить.

Хорошо. Сформулирую вопрос иначе. Это ошибка, описка, сознательная попытка ввести в заблуждение, или это просто самозванка?
Ведь какие-то мысли сопутствовали её появлению...

[TOTAL]

Legioner93 в сообщении #1378257 писал(а):

Площадь параболического сегмента зависит только от разницы абсцисс точек и равна $\dfrac{|\Delta x|^3}{6}$

Из принципа Кавальери следует, что зависит только от разности.

[dmd]

Legioner93

(Оффтоп)

В цикле видео-лекций, которые выше упоминал в этой теме, Норман Вилдбергер детально излагает этот вопрос. Показывает алгебраический вывод общей формулы для площади сегмента произвольной кривой, заданной параметрически, на диапазоне [0,1]. И называет эту формулу фундаментальной формулой калкулуса. Из которой как-бы должно следовать определений площадей/объёмов для не параметрически заданных кривых/поверхностей на произвольном диапазоне. Но вот уже с этим моментом у меня по этим лекциям полные непонятки.

[Legioner93]

Igrickiy(senior)
Ну я имел в виду, что доказать зависимость от $\Delta x$ без интегралов. А точное значение без интегралов вряд ли получится, конечно. Хотя было бы интересно.

[Igrickiy(senior)]

Legioner93 в сообщении #1378269 писал(а):

Ну я имел в виду, что доказать зависимость от $\Delta x$ без интегралов. А точное значение без интегралов вряд ли получится, конечно. Хотя было бы интересно.

Используя уже доказанное отношение площадей, легко, хотя, если честно, уже и не интересно.

[dmd]

Видео-лекция об алгебраическом определении ориентированной площади параболического и кубического сегмента.