Это просто информационное сообщение. Оно не содержит доказательств, а только идеи, так как статья находится в стадии публикации.
Утверждение
Существует только два предельных невырожденных распределения для сумматорных арифметических функций: нормальное распределение -

и распределение

.
Обоснование
Известно (стр.188 Боровков "Теория вероятностей", 1999) для сумм одинаково распределенных независимых случайных величин, кроме вырожденных, предельными являются нормальное распределение -

и распределение

. Нормальное, если дисперсия случайных величин конечна и распределение

, если дисперсия - бесконечна.
Известно также, что любую арифметическую функцию

можно представить, как последовательность случайных величин

, которые находятся в разных вероятностных пространствах.
Ранее в теме об асимптотической независимости арифметических функций было показано, что большой класс арифметических функций обладает свойством асимптотической независимости. Асимптотической независимости арифметических функций

соответствует квази асимптотическая независимость соответствующих случайных величин

при

.
Рассмотрим сумматорную арифметическую функцию

, которой соответствует последовательность случайных величин

.
Ранее было доказано утверждение, что если случайные величины

кважи асимптотически независимы, то при

и любом

существует предел характеристической функции -

, непрерывный в точке

, то для данной характеристической функции выполняется:

. (1)
Формула (1) как бы соответствует независимости случайных величин

при

. Отсюда название - асимптотическая независимость.
Обозначим

- характеристическую функцию предельного распределения.
Пусть

, тогда для квази асимптотически независимых случайных величин при

получаем:

.
Можно доказать, что если

(2), то:

, (3)
т.е. на основании (3) при

в окрестности

мы получаем как бы одинаковое распределение случайных величин.
При выполнении (2) если слагаемые арифметическик функции ограничены, то с одной стороны они асимптотически независимы, а соответствуюшие случайные величины квази асимптотически независимы, а с другой - дисперсия их конечна, тогда получаем предельным нормальное распределение.
Большой класс неограниченных функций также обладает свойством асимптотической независимости, а соответствующие случайные величины квази асимптотически независимы. Поэтому, если для них выполняются условие (2) и математические ожидания соответствующих случайных величин конечны (дисперсии бесконечны), тогда получаем предельным распределение

.
Cлагаемые сумматорных функций Мертенса -

, Лиувилля -

, количества простых чисел, не превышащих

-

являются ограниченными, а следовательно асимптотически независимыми с конечной дисперсией. Однако, условие

для них не выполняется, поэтому они не имеют предельным нормальное распределение.
Слагаемые сумматорных функцмй Чебышева являюся неограниченными, но асимптотически независимыми с конечными математическими ожиданиями соответствующих случайных величин.Однако, условие

также для них не выполняется, поэтому они не имеют предельным распределение

.
Так как других предельных распределений у указанных сумматорных арифметических функций быть не может, то указанные сумматорные функции вообще не имеют предельных распределений.
Повторяю, что сказанное не является доказательством, а просто некоторым обоснованием вышесказанного утверждения.