координаты точки (проекция, вектора)

[ewert]

Андрей писал(а):

На пример я задаю длину стержня 200 мм и получаю длину стержня через координаты 199,999959 мм. Хотя наверно и не стоит заострять внимание на погрешности.

Ну это лишь означает, что Вы промежуточные результаты записываете на бумажку и потом в тот же куркулятор пальчиками вводите. Поскольку внутренняя точность любого инженерного куркулятора -- что-то порядка десяти значащих цифр. А компьютера -- так и вообще пятнадцать-восемнадцать цифр, в зависимости от формата представления данных.

[Андрей]

Ну чтож с погрешностью значит разобрались. А Вы не подскажите, правильно ли я вывел формулы которые я написал в самом начале, или нет. Понятно что в виду изминившихся начальных условий конечные формулы немного изменятся, но меня больше всего интересуют знаки в этих уравнениях.

[Бодигрим]

Цитата:

А Вы не подскажите, правильно ли я вывел формулы которые я написал в самом начале, или нет. Понятно что в виду изминившихся начальных условий конечные формулы немного изменятся, но меня больше всего интересуют знаки в этих уравнениях.

Формулы все выписаны. Что вам мешает посчитать и сравнить с вашим решением? Или у вас трудности с умножением?

[Андрей]

Да нет с умноженем нормально, а вот с плюсами и минусами проблема. Хотя Вы правы, завтра и займусь всеми этими подсчетами.

[Андрей]

Бодигрим писал(а):

Тогда у вас в результате получатся композиция поворотов, примененных к вектору $(0, 1, 0)$. Матрица поворота вокруг $Ox$ ---

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix} . $$

Матрица поворота вокруг $Oz$ ---

$$ \begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. $$

Умножайте на них вектор слева и будет вам счастье.

Перемножил я эти матрицы и …..счастья мне не было. В общем я получил такую матрицу:
$ \begin{pmatrix} cos\gamma & sin\gamma & 0 \\ - cos\beta sin\gamma & cos\beta cos\gamma & -sin\beta \\ -sin\beta sin\gamma & sin\beta cos\gamma & cos\beta \\ \end{pmatrix}. $
Затем умножил ее на

$$ \begin{pmatrix} 0\\ l\\ 0\\ \end{pmatrix}. $$

Т.е. я получил
X_K=l sin\gamma Y_K= l cos\beta cos\gamma Z_K= l sin\beta cos\gamma

А если перемножить эти матрицы в другом порядке (матрица поворота вокруг $Oz$ умножить на матрица поворота вокруг $Ox$) получаю
X_K= l cos\beta sin\gamma Y_K= l cos\beta cos\gamma Z_K= l sin\beta

Видно что в координате Zк явно не хватает знака минус. Вывод в матрице поворота вокруг $Ox$
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix}
надо добавить знак минус
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & -\sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix}
Минус добавить конечно не проблема но вот насколько это правильно я не знаю.

Пока я все это умножал у меня возникли еще вот какие сомнения. Матрица поворота ведь по идеи это относится к повороту осей координат, а мы то поворачиваем именно стержень ОК. Может матрицы поворота в этом случае не совсем правильный метод, как Вы думаете?

[ewert]

Андрей писал(а):

А если перемножить эти матрицы в другом порядке

А кто Вам разрешил переставлять? Умножение матриц не коммутативно, и результаты могут быть не предсказуемыми. Вот минус куда-то и завалился.
Впрочем, арифметику я не проверял.

Цитата:

Матрица поворота ведь по идеи это относится к повороту осей координат, а мы то поворачиваем именно стержень ОК. Может матрицы поворота в этом случае не совсем правильный метод, как Вы думаете?

Если стержень вращается, оставаясь под одним и тем же углом к некоторой оси -- то это в точности равносильно повороту системы координат вокруг этой оси.

[Андрей]

Тогда насчет умножение матриц поворота возникает вопрос в каком порядке их умножать по логике матрица поворота вокруг оси ОХ (первый поворот стержня ОК происходит вокруг оси ОХ, второй поворот вокруг оси OZ) умножается на матрицу поворота вокруг оси OZ но тогда это не сходится с выводами предложенными Вами.

ewert писал(а):

......
Ну теперь для тип-топу умножаем на длину и меняем знак $z$:

$$\begin{cases}x_K=L\,\cos(\beta)\,\sin(\gamma); \\ y_K=L\,\cos(\beta)\,\cos(\gamma); \\ z_K=-L\,\sin(\beta). \end{cases}$$

И еще Вы написали что: "Если стержень вращается, оставаясь под одним и тем же углом к некоторой оси -- то это в точности равносильно повороту системы координат вокруг этой оси."

Это получается если мы стержень поворачивае на три угла вокруг трех разных осей то тогда все же ваше высказывание в этом случае не работает?

[ewert]

Андрей писал(а):

логике матрица поворота вокруг оси ОХ (первый поворот стержня ОК происходит вокруг оси ОХ, второй поворот вокруг оси OZ) умножается на матрицу поворота вокруг оси OZ но тогда это не сходится с выводами предложенными Вами.

Матрицу второго поворота надо ставить слева от матрицы первого, так что сходится.
Что касается знаков -- тут надо внимательно следить: определение матрицы поворота должно быть согласовано с тем, какие углы поворота считаются положительными и какие -- отрицательными.

Андрей писал(а):

Это получается если мы стержень поворачивае на три угла вокруг трех разных осей то тогда все же ваше высказывание в этом случае не работает?

Дело в том, что формулировка "поворачиваем на три угла вокруг трех разных осей" не имеет точного смысла. Надо указать, вокруг чего и в каком порядке поворачиваем. Т.е. разбить общий поворот на цепочку элементарных. И потом перемножить соотв. матрицы.

[Андрей]

Хорошо уточняю вопрос, если мы стержень ОК еще повернем вокруг оси Y на угол ε т.е.
Шаг 1 (поворот вокруг X на угол β)
Шаг 2 (поворот вокруг Z на угол γ)
Шаг 3 (поворот вокруг Y на угол ε)
Тогда согласно Вашего высказывания

ewert писал(а):

Если стержень вращается, оставаясь под одним и тем же углом к некоторой оси -- то это в точности равносильно повороту системы координат вокруг этой оси.

стержень не остается под одним и тем же углом к некоторой оси и тогда матрица поворота(ов) не равносильна повороту системы координат вокруг этой оси ???

[Бодигрим]

Ну, туту уже вообще масло масляное: вы сами говорите, что на каждом шаге у вас поворот вокруг оси (поворот вокруг X на угол β etc.). Естественно, что движение поворота описывается матрицей поворота.

[Андрей]

Все верно движение поворот должно описываться матрицей поворота, но вот какой? Т.е. я хочу сказать что мы то поворачиваем именно стержень ОК а приведенные матрицы это матрицы поворота осей координат, и как мне кажется именно поэтому и получается не состыковка со знаками координат.

[Бодигрим]

Цитата:

Все верно движение поворот должно описываться матрицей поворота, но вот какой?

"Матрица поворота" - это термин для описания матриц, подобных приведенным выше.

Андрей в сообщении #137776 писал(а):

Т.е. я хочу сказать что мы то поворачиваем именно стержень ОК а приведенные матрицы это матрицы поворота осей координат

Поворот стержня $OK$ эквивалентен некоторому повороту осей координат.

Андрей в сообщении #137776 писал(а):

как мне кажется именно поэтому и получается не состыковка со знаками координат.

А мне кажется, что кто-то матрицы умножать не умеет. То, как вы их переставляли, это уже наглядно продемонстрировало.

[Андрей]

Согласен в математике я не силен, и именно поэтому я на этом форуме. Если Вы считаете что я неправильно умножил матрицы то проверьте пожалуйста правильность умножения
\begin{pmatrix} \cos\gamma & \sin\gamma & 0\\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta \\ 0 & \sin\beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix}
Перемножил и получил
\begin{pmatrix} cos\gamma & sin\gamma cos\beta & -sin\gamma sin\beta \\ -sin\gamma & cos\gamma cos\beta & - cos\gamma sin\beta \\ 0 & sin\beta & cos\beta \\ \end{pmatrix}

Откуда
X_K= l cos\beta sin\gamma Y_K= l cos\beta cos\gamma Z_K= l sin\beta

И если я все таки правильно умножил матрицы объясните почему же координата Zк без минуса, хотя он должен быть однозначно.

[ewert]

Андрей писал(а):

И если я все таки правильно умножил матрицы объясните почему же координата Zк без минуса, хотя он должен быть однозначно.

Умножили правильно, ессно. А без минуса по тривиальной причине -- поскольку матрицы выписывались в стандартном предположении правильного направления оси $Z$. Ну а коли она направлена обратно -- так надо и всего лишь знак изменить, всё просто.

[Андрей]

Я конечно профан в математике, но понимаю что просто взять и поменять знак с плюса на минус нельзя, и тогда напрашивается вывод что уважаемый Бодигрим предоставил неверные матрицы поворота относительно осей координат. Я в матрицах поворота не силен и к сожалению не могу судить о правильности написаных Бодигримом матриц поворота (хотя вывод так и напрашивается если верить, что я все правильно умножил).