Извлечение корня из комплексного числа

[e7e5]

Решая уравнение, получил в итоге: $z^3=-\sqrt{3}-i$.
Понятно, что всего три корня. Первый $z_1=(-i-\sqrt{3})^{1/3}$.
Но непонятно, как получается второй и третий в виде (поворотом на $2\pi/3$?)
$z_2=-(\sqrt{3}+i)^{1/3}$, $z_3=-\frac {1} {2}i(-\sqrt{3}-i)^{4/3}$ (A)?

Мне известно, как извлекать корни из комплексного числа:
$|z|=2$, $\varphi=\arctg(\frac {1}{-\sqrt{3}})+\pi=5\pi/6$
Корни $2^{1/3}(\cos(\frac {5\pi/6+2\pi k} {3})+i\sin(\frac {5\pi/6+2\pi k} {3}))$, $k=0,1,2$
А вот как преобразовать, чтобы получились в виде (A)?

[Aritaborian]

В поле комплексных чисел уравнение $z^n = 1$ имеет в точности $n$ корней. Один из них равен обыкновенной единице, остальные же, как вы совершенно верно заметили, получаются поворотом против часовой стрелки таким образом, чтобы распределиться по единичной окружности равномерно. Всё это более-менее легко доказывается.

[e7e5]

Aritaborian в сообщении #1377893 писал(а):

остальные же, как вы совершенно верно заметили, получаются поворотом против часовой стрелки таким образом, чтобы распределиться по единичной окружности равномерно

Подскажите, как, зная один корень уравнения, которое рассматриваем, получить два остальных корня поворотом на сто двадцать градусов?

[Someone]

e7e5 в сообщении #1377891 писал(а):

Первый $z_1=(-i-\sqrt{3})^{1/3}$.
Но непонятно, как получается второй и третий в виде (поворотом на $2\pi/3$?)
$z_2=-(\sqrt{3}+i)^{1/3}$, $z_3=-\frac {1} {2}i(-\sqrt{3}-i)^{4/3}$ (A)?

Все три выражения непонятно что обозначают. В частности, первое из них никакого конкретного корня (из трёх возможных) не обозначает, оно обозначает все три сразу. Где Вы это нашли?

e7e5 в сообщении #1377891 писал(а):

Мне известно, как извлекать корни из комплексного числа:
$|z|=2$, $\varphi=\arctg(\frac {1}{-\sqrt{3}})+\pi=5\pi/6$

Аргумент комплексного числа Вы определили неправильно. Нарисуйте картинку, может быть, она Вам что-то подскажет.

e7e5 в сообщении #1377891 писал(а):

А вот как преобразовать, чтобы получились в виде (A)?

К виду (A) — никак. Но вычислить синусы-косинусы и получить результат в алгебраической форме можно.

[e7e5]

Someone в сообщении #1377895 писал(а):

e7e5 в сообщении #1377891 писал(а):

Первый $z_1=(-i-\sqrt{3})^{1/3}$.
Но непонятно, как получается второй и третий в виде (поворотом на $2\pi/3$?)
$z_2=-(\sqrt{3}+i)^{1/3}$, $z_3=-\frac {1} {2}i(-\sqrt{3}-i)^{4/3}$ (A)?

Все три выражения непонятно что обозначают. В частности, первое из них никакого конкретного корня (из трёх возможных) не обозначает, оно обозначает все три сразу. Где Вы это нашли?

Где нашел, на http://www.wolframalpha.com
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z ... 7B3%7D%2Bi
Записал уравнение и получил корни, два их которых, ну ни как не получаются у меня.

[Someone]

e7e5 в сообщении #1377899 писал(а):

Где нашел, на http://www.wolframalpha.com

Ну, к программистам Вольфрама и обращайтесь с вопросами. А у математиков ситуация такая, как я написал: $z^{\frac 13}$ при $z\neq 0$ имеет три различных значения, ни одно из которых не является выделенным, поэтому запись $z_1=(-i-\sqrt{3})^{\frac 13}$ никакого конкретного значения степени не подразумевает, зато подразумевает все три сразу. Можно указать какие-нибудь условия, выделяющие одно значение из трёх, но они должны быть явно выписаны.

e7e5 в сообщении #1377894 писал(а):

Подскажите, как, зная один корень уравнения, которое рассматриваем, получить два остальных корня поворотом на сто двадцать градусов?

Геометрический смысл умножения комплексных чисел знаете?

И ошибку в определении аргумента комплексного числа $-\sqrt{3}-i$ Вы не исправили.

[e7e5]

Someone в сообщении #1377902 писал(а):

Геометрический смысл умножения комплексных чисел знаете?

И ошибку в определении аргумента комплексного числа $-\sqrt{3}-i$ Вы не исправили.

У меня аргументся получился равным
$-\frac {5\pi} {6}$
А вот с геометрическим смыслом - в общих чертах, должен быть "поворот" на сто двадцать градусов (раз всего три корня и они равномерно распределяются на окружности). Мне непонятно, как зная один корень (исходный пост), как получить поворотом два других из первого?

[Igrickiy(senior)]

Уважаемый e7e5!
У Вас кроме математических пакетов есть возможность открыть какой-нить учебник?
Самые-самые азы комплексных чисел (и тригонометрических функций) знать-то не лишнее.

[e7e5]

Igrickiy(senior) в сообщении #1377909 писал(а):

e7e5

У Вас кроме математических пакетов есть возможность открыть какой-нить учебник?
Самые-самые азы комплексных чисел (и тригонометрических функций) знать-то не лишнее.

Учебник то есть, но я так и не понял, почему математический пакет выдал такой ответ..., который не сходится, если действовать по учебнику.

[dmd]

Someone

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1377902 писал(а):

Ну, к программистам Вольфрама и обращайтесь с вопросами. А у математиков ситуация такая, как я написал: $z^{\frac 13}$ при $z\neq 0$ имеет три различных значения, ни одно из которых не является выделенным, поэтому запись $z_1=(-i-\sqrt{3})^{\frac 13}$ никакого конкретного значения степени не подразумевает, зато подразумевает все три сразу. Можно указать какие-нибудь условия, выделяющие одно значение из трёх, но они должны быть явно выписаны.

Это не верное утверждение. Записи корней уравнения всегда однозначны. Одно из значений среди всех комплексных ветвей является выделенным и называется "главным значением". Каждому конкретному корню присваивается одно единственное соответствующее значение относительно "главного" выделенного. Вольфрам поступает корректно в записи конкретных корней в радикалах (дробных степенях с нечетным знаменателем). Если же следовать Вашему утверждению, то получается абсурд и конкретные корни в радикалах ни как не записать.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

dmd в сообщении #1377915 писал(а):

Это не верное утверждение. Записи корней уравнения всегда однозначны. Одно из значений среди всех комплексных ветвей является выделенным и называется "главным значением".

Верное, верное.
Чему, кстати, равно "главное значение" кубического корня из $-1$?
И чему равно $\sqrt[3]{-1}$ (раз это, как Вы сказали, "однозначная запись")?
(Если что, это были два разных вопроса.)
Действительно, бывает что говорят про "главное значение", но соответствующая ветвь корня никак не выделена среди других, которые математически равнозначны, и даже не имеет чётких границ с другими ветвями.

[dmd]

Mikhail_K

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1377917 писал(а):

И чему равно $\sqrt[3]{-1}$ (раз это, как Вы сказали, "однозначная запись")?

Оно равно самому себе - однозначно, и в комплексной записи равно 0.5 + 0.866025i, конкретная одна из трёх ветвей.

[e7e5]

dmd в сообщении #1377915 писал(а):

Вольфрам поступает корректно в записи конкретных корней в радикалах (дробных степенях с нечетным знаменателем). Если же следовать Вашему утверждению, то получается абсурд и конкретные корни в радикалах ни как не записать

Подскажите, как получить корни в радикалах - так, как это получается на Вольфраме?

[Munin]

В соседней теме, вроде бы наиболее полной на этом форуме по данному вопросу, «Корень vs. степень: область определения»
была приведена такая поучительная картинка:

B@R5uk в сообщении #1371915 писал(а):

Тогда предлагаю полюбоваться на действительную часть кубического корня на комплексной плоскости во всём его многообразии :



Мнимая часть выглядит точно так же, только повёрнута на угол $\pi/2$ по часовой стрелке, если смотреть на картинку сверху.

[Someone]

(Оффтоп)

dmd в сообщении #1377922 писал(а):

Mikhail_K

Mikhail_K в сообщении #1377917 писал(а):

И чему равно $\sqrt[3]{-1}$ (раз это, как Вы сказали, "однозначная запись")?

Оно равно самому себе - однозначно, и в комплексной записи равно 0.5 + 0.866025i, конкретная одна из трёх ветвей.

Если Вы думаете, что в ТФКП существуют какие-то соглашения на этот счёт, принимаемые по умолчанию, то Вы ошибаетесь. Никаких "соглашений по умолчанию" в ТФКП нет. Поэтому прежде, чем $\sqrt[3]{-1}$ приобретёт конкретное значение, Вы должны явно указать, какую именно ветвь аналитической функции $\sqrt[3]{z}$ Вы подразумеваете под этим обозначением. Указав, естественно, её границы и значение хотя бы в одной точке.

dmd в сообщении #1377915 писал(а):

Если же следовать Вашему утверждению, то получается абсурд и конкретные корни в радикалах ни как не записать.

Ну почему же? В тригонометрической форме они прекрасно записываются. А если модуль и тригонометрические функции удастся выразить через радикалы, то и в радикалах запишется.

Замечание. Указанное Вами значение в десятичных дробях не совпадает ни с одним из значений $\sqrt[3]{-1}$, поскольку $\frac{\sqrt{3}}2\neq 0{,}866025$. Я вредный.