Может ли получиться квадрат?

[Ktina]

Может ли значение выражения $n^3+n+4$ оказаться квадратом натурального числа при каком-нибудь целом $n>0$?

[wrest]

Может

(Оффтоп)

$n=4128$

[Ktina]

wrest
Большое спасибо!

[gris]

Я по своей бестолковости никак не могу поймать идею решения, кроме перебора. Хоть намекните Что-то, связанное с распределением квадратов и кубов? Последовательность "расстояние от $n^3$ до ближайшего большего вадрата"?
$0,0, 1,9,17, 19...$

[wrest]

gris
Я перебирал...
И нашлось только одно решение, в диапазоне, кажись, до $n=10^7$

[gris]

По идее ТС: $2n^3+2n+2018$ уж точно не будет никакой степенью, большей первой

[waxtep]

Это, конечно, конкретная подгонка под ответ, но вдруг в этом есть намек на что-то осмысленное
Будем искать $x=z(z+a),y=z(z^2+bz+c), z\in\mathbb{N},a,b,c\in\mathbb{Q}$
Чтобы для старших степеней $z$ равенство выполнялось тождественно, должно быть $b=\frac32a,c=\frac38a^2$; оставшийся нетождественный кусок запишем так: $\frac18a^3z(z^2+\frac98az)=z^2+az+4$ и, наконец, сделаем финт ушами, угадаем решение этого уравнения вот так:

$$\begin{cases}\frac18a^3z=1\\ \frac18az=4\end{cases}$$

Это дает решение $z=64,a=\frac12$, с теми самыми $x,y$

[waxtep]

Таким образом, метОда работает для уравнений вида $y^2=x^3+x+n^2$ и дает

$$\begin{cases}x=64n^6+8n^2\\y=512n^9+96n^5+3n\end{cases}$$

в силу соответствующего тождества

[waxtep]

И немножко занудного причесывания, введя $m=4n^2$, запишем решение $y^2=x^3+x+n^2$ так:

$$\begin{cases}x=m(m^2+2)$\\y=n(2m^4+6m^2+3)\end{cases}$$