"Универсальное свойство" пополнения

[Padawan]

В английской википедии в статье https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space#Completion написано

Цитата:

For any metric space $M$, one can construct a complete metric space $M'$ (which is also denoted as $\overline {M}$), which contains $M$ as a dense subspace. It has the following universal property: if $N$ is any complete metric space and $f$ is any uniformly continuous function from $M$ to $N$, then there exists a unique uniformly continuous function $f'$ from $M'$ to $N$, which extends $f$. The space $M'$ is determined up to isometry by this property, and is called the completion of $M$.

Я не понимаю, в каком смысле "The space $M'$ is determined up to isometry by this property". Ведь любое пространство $M'$, содержащее, $M$ в качестве плотного подпространства, этим свойством обладает. Или имеется ввиду, что $M$ должно быть еще и полным?

Пополнение $M$ - это пара $(M',f)$, где $f$ -- изометрия $M$ на всюду плотное подмножество $f(M)\subset M'$.
Если $(M_1',f_1)$, $(M_2',f_2)$ - два пополнения, то существует единственная изометрия $\varphi\colon M_1'\to M_2'$ такая, что $\varphi\circ f_1=f_2$.

-- Пт фев 22, 2019 09:53:53 --

Вот, текст из книги Кутателадзе Основы функционального анализа.

А про "универсальное свойство" пополнения ничего не нашел.

[Narn]

Padawan в сообщении #1377672 писал(а):

Ведь любое пространство $M'$, содержащее, $M$ в качестве плотного подпространства, этим свойством обладает.

Не любое - продолжение должно быть единственным (there exists a unique).

[zcorvid]

Padawan в сообщении #1377672 писал(а):

универсальное свойство

Поищите в книге Колмогорова, Фомина по функциональному анализу, там это было (если мне память не изменяет).

Если кратко, то универсальное свойство пополнения заключается в следующем:

Пусть дано метрическое пространство $A$, полное метрическое пространство $B$ называется пополнением пространства $A$, если фиксировано вложение $A \to B$ и для любого полного пространства $C$ со вложением $A \to C$ существует отображение $B \to C$, такое, что диаграмма этих трёх отображений коммутативна.

[Padawan]

Вроде разобрался. Приведенное в википедии свойство продолжаемости равномерно-непрерывных отображений $f\colon M\to N$ равносильно тому, что $M$ плотно в $M'$. Поэтому дополнительно надо требовать, что $M'$ полно. Тогда упомянутое универсальное свойство действительно характеризует $M'$ однозначно с точностью до изометрии среди всех полных пространств, изометрически содержащих $M$. Внесу соответствующее уточнение текст статьи в википедии.
Вот так написал (пояснение в скобках)

Цитата:

The space M' is determined up to isometry by this property (among all complete metric spaces isometrically containing M), and is called the completion of M.

[demolishka]

Да вроде и так понятно, что речь шла о полных пространствах

Padawan в сообщении #1377672 писал(а):

one can construct a complete metric space $M'$