2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Универсальное свойство" пополнения
Сообщение22.02.2019, 08:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
В английской википедии в статье https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space#Completion написано
Цитата:
For any metric space $M$, one can construct a complete metric space $M'$ (which is also denoted as $\overline {M}$), which contains $M$ as a dense subspace. It has the following universal property: if $N$ is any complete metric space and $f$ is any uniformly continuous function from $M$ to $N$, then there exists a unique uniformly continuous function $f'$ from $M'$ to $N$, which extends $f$. The space $M'$ is determined up to isometry by this property, and is called the completion of $M$.

Я не понимаю, в каком смысле "The space $M'$ is determined up to isometry by this property". Ведь любое пространство $M'$, содержащее, $M$ в качестве плотного подпространства, этим свойством обладает. Или имеется ввиду, что $M$ должно быть еще и полным?

Пополнение $M$ - это пара $(M',f)$, где $f$ -- изометрия $M$ на всюду плотное подмножество $f(M)\subset M'$.
Если $(M_1',f_1)$, $(M_2',f_2)$ - два пополнения, то существует единственная изометрия $\varphi\colon M_1'\to M_2'$ такая, что $\varphi\circ f_1=f_2$.

-- Пт фев 22, 2019 09:53:53 --

Вот, текст из книги Кутателадзе Основы функционального анализа.
Изображение
А про "универсальное свойство" пополнения ничего не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Универсальное свойство" пополнения
Сообщение22.02.2019, 12:46 


28/05/08
284
Трантор
Padawan в сообщении #1377672 писал(а):
Ведь любое пространство $M'$, содержащее, $M$ в качестве плотного подпространства, этим свойством обладает.

Не любое - продолжение должно быть единственным (there exists a unique).

 Профиль  
                  
 
 Re: "Универсальное свойство" пополнения
Сообщение22.02.2019, 13:18 
Аватара пользователя


28/05/15
74
Padawan в сообщении #1377672 писал(а):
универсальное свойство


Поищите в книге Колмогорова, Фомина по функциональному анализу, там это было (если мне память не изменяет).

Если кратко, то универсальное свойство пополнения заключается в следующем:

Пусть дано метрическое пространство $A$, полное метрическое пространство $B$ называется пополнением пространства $A$, если фиксировано вложение $A \to B$ и для любого полного пространства $C$ со вложением $A \to C$ существует отображение $B \to C$, такое, что диаграмма этих трёх отображений коммутативна.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Универсальное свойство" пополнения
Сообщение22.02.2019, 14:55 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Вроде разобрался. Приведенное в википедии свойство продолжаемости равномерно-непрерывных отображений $f\colon M\to N$ равносильно тому, что $M$ плотно в $M'$. Поэтому дополнительно надо требовать, что $M'$ полно. Тогда упомянутое универсальное свойство действительно характеризует $M'$ однозначно с точностью до изометрии среди всех полных пространств, изометрически содержащих $M$. Внесу соответствующее уточнение текст статьи в википедии.
Вот так написал (пояснение в скобках)
Цитата:
The space M' is determined up to isometry by this property (among all complete metric spaces isometrically containing M), and is called the completion of M.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Универсальное свойство" пополнения
Сообщение22.02.2019, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Да вроде и так понятно, что речь шла о полных пространствах
Padawan в сообщении #1377672 писал(а):
one can construct a complete metric space $M'$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group