Существование и единственность арифметического корня

[project15]

Листаю Фихтенгольца, попадается красивая и простая теорема.
Для любого положительного действительного числа $\alpha$ существует единственное положительное число $\gamma$, данная $n$-ая степень которого равна $\alpha$.
Начинаю доказывать.
1)Единственность очевидным образом следует из неравенств.
2) Пусть $X$ - множество положительных действительных чисел $x$, $n$-ая степень которых меньше $\alpha$, $Y$ - множество положительных действительных чисел $y$, $n$-ая степень которых больше $\alpha$.
3) $X$ ограничено сверху $\Rightarrow$ $\exists$ $\gamma$ $=$ $\sup X$; $Y$ ограничено снизу $\Rightarrow$ $\exists$ $\psi$ $ = $ $\inf Y$
4) $\gamma$ $=$ $\psi$ (очевидно)
5) В $X$ нету наибольшего $\Rightarrow$ $\gamma^n$ $\geqslant$ $\alpha$; в $Y$ нету наименьшего $\Rightarrow$ $\gamma^n$ $\leqslant$ $\alpha$
6)$\gamma^n$ $=$ $\alpha$
Объясните пожалуйста, какие методические преимущества имеет доказательство через сечения Дедекинда. Теорема Дедекинда (о существовании точных граней у ограниченных множеств) уже к этому моменту доказана. Тут либо мое доказательство неверное, либо я один не хочу использовать сечения. Проверьте пожалуйста, не допустил ли я ошибку в доказательстве.

[Padawan]

project15 в сообщении #1376750 писал(а):

$\gamma$ $=$ $\psi$ (очевидно)

Тут вопрос, почему?

[project15]

Padawan
1) $\forall$ $x\in X$ и $y\in Y$ выполняется $x^n < y^n$ $\Rightarrow$ $x < y$. Если $\psi < \gamma$ $\Rightarrow$ $\exists$ $y_0\in Y$ и $x_0\in X$ такие, что $y_0 < x_0$. Противоречие.
2) Если $\psi > \gamma$, то выберем, пользуясь плотностью области вещественных чисел какие-либо 2 вещественных числа $\mu$ и $\eta$ так, чтобы $\gamma < \mu < \eta <\psi$. $\mu^n$ не может быть меньше $\alpha$, т.к. в этом случае $\mu$ принадлежала бы $X$ и была бы больше $\gamma = \sup X$. Аналогично $\mu^n$ не может быть больше $\alpha$. Следовательно, $\mu^n = \alpha$. Аналогично доказываем, что $\eta^n = \alpha$. Но из $0 < \mu < \eta$ следует, что $\mu^n < \eta^n$. Противоречие.
3)Получаем, что $\gamma = \psi $

[deep blue]

project15 в сообщении #1376750 писал(а):

5) В $X$ нету наибольшего

Тут вопрос, почему?

[iifat]

project15 в сообщении #1376750 писал(а):

какие методические преимущества имеет доказательство через сечения Дедекинда

Ну дык а что вы, по-вашему, тут пишете как не дедекиндово сечение?

[project15]

deep blue
Возьмем произвольный $x\in X$. Для него известно, что $x^n < \alpha$. Докажем, что всегда можно подобрать $\varepsilon$, удовлетворяющий условию $0 < \varepsilon < 1$ так, чтобы $(x + \varepsilon)^n < \alpha$. Используя бином Ньютона, получаем $(x + \varepsilon)^n = {n\choose 0}x^n + {n\choose 1}x^{n - 1}\varepsilon + \dots + {n\choose k}x^{n - k}\varepsilon^k + \dots + {n\choose n}\varepsilon^n$ $\leqslant x^n + {n\choose 1}x^{n - 1}\varepsilon + \dots + {n\choose k}x^{n - k}\varepsilon + \dots + \varepsilon$ $ = x^n + \varepsilon ({n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1)$ $< \alpha \Leftrightarrow$ $\varepsilon ({n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1) < \alpha - x^n$ $\Leftrightarrow \varepsilon < \frac{\alpha - x^n}{{n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1}$, а такой $\varepsilon$ всегда можно подобрать.

[deep blue]

project15
Доказательство правильное и методически хорошее, может что-то можно улучшить, но в целом все отлично.
Теперь остается понять чем оно отличается от других. iifat прав, здесь в чистом виде сечение Дедекинда, когда мы разбиваем на два множества X и Y это и есть Дедекиндово сечение.

А вообще не всегда принято доказывать существование $\sqrt[n]{a}$ (максимум доказывают существование $\sqrt{2}$). Вместо этой возни доказывают общую теорему, что у непрерывной монотонной функции существует обратная непрерывная. После чего существование корня получается автоматически как следствие этой теоремы.

[project15]

iifat

iifat в сообщении #1377130 писал(а):

Ну дык а что вы, по-вашему, тут пишете как не дедекиндово сечение?

Я использую непрерывность области вещественных чисел в терминах точных граней. Сечения Дедекинда я здесь не строю. Не спорю, что вместо точных граней можно использовать любую другую формулировку непрерывности (в терминах сечений/вложенных отрезков/разделяющей точки/.../). Все эти формулировки эквивалентны. Но речь не столько об этом, сколько о доказательстве Г.М.Фихтенгольца (у меня трехтомник, 2003 г., первый том, с.42-43). Он строит сечение в области рациональных чисел, а затем доказывает, что полученное вещественное число удовлетворяет всем требованиям. Зачем нужно явное построение этого числа, если из доказанной ранее теоремы о точных гранях существование такого числа следует очевидным образом?

[iifat]

project15 в сообщении #1377265 писал(а):

Он строит сечение в области рациональных чисел

Другими словами — действительное число. Вы идёте от доказанных свойств действительных чисел; Фихтенгольц, судя по вашим словам (проверять пока лень), идёт от определения действительных чисел. В принципе, оба доказательства имеют право на существование, и выбор между ними — личное дело каждого, в том числе и Фихтенгольца; однако, если это не удлинняет существенно доказательство — несколько предпочтительнее, имхо, таки способ Фихтенгольца, от определений.

[deep blue]

Разделим R на два непустых множества A<B. ТВГ (точная верхняя грань) множества A существует и совпадает с минимальным/максимальным элементом в A или B (который существует по принципу Дедекинда).
Поэтому говоря о ТВГ всегда можно иметь ввиду соответствующее сечение Дедекинда и наоборот. Так что разницы между этими двумя вещами я в упор не замечаю.

project15 в сообщении #1377265 писал(а):

Он строит сечение в области рациональных чисел

а что его доказательство сильно поменяется если строить сечение в области вещественных чисел? Ведь к тому моменту мы уже умеем оперировать вещественными числами и знаем об их полноте.

[project15]

deep blue

deep blue в сообщении #1377384 писал(а):

Поэтому говоря о ТВГ всегда можно иметь ввиду соответствующее сечение Дедекинда и наоборот. Так что разницы между этими двумя вещами я в упор не замечаю.

Разница между сечениями Дедекинда/разделяющей точкой/точными гранями и т.д. общеизвестна. Это тривиальный вопрос, обсуждение которого не приведет ни к каким содержательным итогам. iifat считает способ Фихтенгольца более предпочтительным. Я придерживаюсь другого мнения. Видимо это очередной вопрос из разряда "дело вкусов". Я отдаю себе отчет в том, что могу быть необъективен, т.к.
1) свое доказательство всегда нравится больше
2) построение теории вещественных чисел с помощью сечений Дедекинда в $\mathbb{Q}$ так и не стало "моим". То, что я читал у Фихтенгольца, выглядит крайне неубедительным. Мне не понятно, почему говоря о "рациональных числах" он спокойно имеет в виду "рациональные сечения", хотя это 2 разных объекта. Да, они изоморфны, но все же не тождественны. Об этом можно было бы хотя бы упомянуть.

[iifat]

project15 в сообщении #1377693 писал(а):

построение теории вещественных чисел с помощью сечений Дедекинда в $\mathbb{Q}$ так и не стало "моим"

Ну, не стало, так не стало. Проблема ли это Фихтенгольца?
Я б таки вам предложил выбрать «своё» и доказывать, опираясь на него. Уверен, это возможно, и такой путь был бы методически правильнее построения замаскированных сечений Дедекинда в поле действительных чисел. Впрочем, ваше право.