2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существование и единственность арифметического корня
Сообщение17.02.2019, 23:34 


24/01/19
54
Листаю Фихтенгольца, попадается красивая и простая теорема.
Для любого положительного действительного числа $\alpha$ существует единственное положительное число $\gamma$, данная $n$-ая степень которого равна $\alpha$.
Начинаю доказывать.
1)Единственность очевидным образом следует из неравенств.
2) Пусть $X$ - множество положительных действительных чисел $x$, $n$-ая степень которых меньше $\alpha$, $Y$ - множество положительных действительных чисел $y$, $n$-ая степень которых больше $\alpha$.
3) $X$ ограничено сверху $\Rightarrow$ $\exists$ $\gamma$ $=$ $\sup X$; $Y$ ограничено снизу $\Rightarrow$ $\exists$ $\psi$ $ = $ $\inf Y$
4) $\gamma$ $=$ $\psi$ (очевидно)
5) В $X$ нету наибольшего $\Rightarrow$ $\gamma^n$ $\geqslant$ $\alpha$; в $Y$ нету наименьшего $\Rightarrow$ $\gamma^n$ $\leqslant$ $\alpha$
6)$\gamma^n$ $=$ $\alpha$
Объясните пожалуйста, какие методические преимущества имеет доказательство через сечения Дедекинда. Теорема Дедекинда (о существовании точных граней у ограниченных множеств) уже к этому моменту доказана. Тут либо мое доказательство неверное, либо я один не хочу использовать сечения. Проверьте пожалуйста, не допустил ли я ошибку в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 09:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
project15 в сообщении #1376750 писал(а):
$\gamma$ $=$ $\psi$ (очевидно)

Тут вопрос, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 10:39 


24/01/19
54
Padawan
1) $\forall$ $x\in X$ и $y\in Y$ выполняется $x^n < y^n$ $\Rightarrow$ $x < y$. Если $\psi < \gamma$ $\Rightarrow$ $\exists$ $y_0\in Y$ и $x_0\in X$ такие, что $y_0 < x_0$. Противоречие.
2) Если $\psi > \gamma$, то выберем, пользуясь плотностью области вещественных чисел какие-либо 2 вещественных числа $\mu$ и $\eta$ так, чтобы $\gamma < \mu < \eta <\psi$. $\mu^n$ не может быть меньше $\alpha$, т.к. в этом случае $\mu$ принадлежала бы $X$ и была бы больше $\gamma = \sup X$. Аналогично $\mu^n$ не может быть больше $\alpha$. Следовательно, $\mu^n = \alpha$. Аналогично доказываем, что $\eta^n = \alpha$. Но из $0 < \mu < \eta$ следует, что $\mu^n < \eta^n$. Противоречие.
3)Получаем, что $\gamma = \psi $

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 16:26 


23/11/09
173
project15 в сообщении #1376750 писал(а):
5) В $X$ нету наибольшего
Тут вопрос, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 17:05 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
project15 в сообщении #1376750 писал(а):
какие методические преимущества имеет доказательство через сечения Дедекинда
Ну дык а что вы, по-вашему, тут пишете как не дедекиндово сечение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 19:06 


24/01/19
54
deep blue
Возьмем произвольный $x\in X$. Для него известно, что $x^n < \alpha$. Докажем, что всегда можно подобрать $\varepsilon$, удовлетворяющий условию $0 < \varepsilon < 1$ так, чтобы $(x + \varepsilon)^n < \alpha$. Используя бином Ньютона, получаем $(x + \varepsilon)^n = {n\choose 0}x^n + {n\choose 1}x^{n - 1}\varepsilon + \dots + {n\choose k}x^{n - k}\varepsilon^k + \dots + {n\choose n}\varepsilon^n$ $\leqslant x^n + {n\choose 1}x^{n - 1}\varepsilon + \dots + {n\choose k}x^{n - k}\varepsilon + \dots + \varepsilon$ $ = x^n + \varepsilon ({n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1)$ $< \alpha \Leftrightarrow$ $\varepsilon ({n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1) < \alpha - x^n$ $\Leftrightarrow \varepsilon < \frac{\alpha - x^n}{{n\choose 1}x^{n - 1} + \dots + {n\choose k}x^{n - k} + \dots + 1}$, а такой $\varepsilon$ всегда можно подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение19.02.2019, 20:10 


23/11/09
173
project15
Доказательство правильное и методически хорошее, может что-то можно улучшить, но в целом все отлично.
Теперь остается понять чем оно отличается от других. iifat прав, здесь в чистом виде сечение Дедекинда, когда мы разбиваем на два множества X и Y это и есть Дедекиндово сечение.

А вообще не всегда принято доказывать существование $\sqrt[n]{a}$ (максимум доказывают существование $\sqrt{2}$). Вместо этой возни доказывают общую теорему, что у непрерывной монотонной функции существует обратная непрерывная. После чего существование корня получается автоматически как следствие этой теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение20.02.2019, 12:36 


24/01/19
54
iifat
iifat в сообщении #1377130 писал(а):
Ну дык а что вы, по-вашему, тут пишете как не дедекиндово сечение?

Я использую непрерывность области вещественных чисел в терминах точных граней. Сечения Дедекинда я здесь не строю. Не спорю, что вместо точных граней можно использовать любую другую формулировку непрерывности (в терминах сечений/вложенных отрезков/разделяющей точки/.../). Все эти формулировки эквивалентны. Но речь не столько об этом, сколько о доказательстве Г.М.Фихтенгольца (у меня трехтомник, 2003 г., первый том, с.42-43). Он строит сечение в области рациональных чисел, а затем доказывает, что полученное вещественное число удовлетворяет всем требованиям. Зачем нужно явное построение этого числа, если из доказанной ранее теоремы о точных гранях существование такого числа следует очевидным образом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение20.02.2019, 16:27 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
project15 в сообщении #1377265 писал(а):
Он строит сечение в области рациональных чисел
Другими словами — действительное число. Вы идёте от доказанных свойств действительных чисел; Фихтенгольц, судя по вашим словам (проверять пока лень), идёт от определения действительных чисел. В принципе, оба доказательства имеют право на существование, и выбор между ними — личное дело каждого, в том числе и Фихтенгольца; однако, если это не удлинняет существенно доказательство — несколько предпочтительнее, имхо, таки способ Фихтенгольца, от определений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение20.02.2019, 21:32 


23/11/09
173
Разделим R на два непустых множества A<B. ТВГ (точная верхняя грань) множества A существует и совпадает с минимальным/максимальным элементом в A или B (который существует по принципу Дедекинда).
Поэтому говоря о ТВГ всегда можно иметь ввиду соответствующее сечение Дедекинда и наоборот. Так что разницы между этими двумя вещами я в упор не замечаю.
project15 в сообщении #1377265 писал(а):
Он строит сечение в области рациональных чисел
а что его доказательство сильно поменяется если строить сечение в области вещественных чисел? Ведь к тому моменту мы уже умеем оперировать вещественными числами и знаем об их полноте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение22.02.2019, 11:58 


24/01/19
54
deep blue
deep blue в сообщении #1377384 писал(а):
Поэтому говоря о ТВГ всегда можно иметь ввиду соответствующее сечение Дедекинда и наоборот. Так что разницы между этими двумя вещами я в упор не замечаю.

Разница между сечениями Дедекинда/разделяющей точкой/точными гранями и т.д. общеизвестна. Это тривиальный вопрос, обсуждение которого не приведет ни к каким содержательным итогам. iifat считает способ Фихтенгольца более предпочтительным. Я придерживаюсь другого мнения. Видимо это очередной вопрос из разряда "дело вкусов". Я отдаю себе отчет в том, что могу быть необъективен, т.к.
1) свое доказательство всегда нравится больше
2) построение теории вещественных чисел с помощью сечений Дедекинда в $\mathbb{Q}$ так и не стало "моим". То, что я читал у Фихтенгольца, выглядит крайне неубедительным. Мне не понятно, почему говоря о "рациональных числах" он спокойно имеет в виду "рациональные сечения", хотя это 2 разных объекта. Да, они изоморфны, но все же не тождественны. Об этом можно было бы хотя бы упомянуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование и единственность арифметического корня
Сообщение22.02.2019, 14:54 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
project15 в сообщении #1377693 писал(а):
построение теории вещественных чисел с помощью сечений Дедекинда в $\mathbb{Q}$ так и не стало "моим"
Ну, не стало, так не стало. Проблема ли это Фихтенгольца?
Я б таки вам предложил выбрать «своё» и доказывать, опираясь на него. Уверен, это возможно, и такой путь был бы методически правильнее построения замаскированных сечений Дедекинда в поле действительных чисел. Впрочем, ваше право.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group