Дилетантские вопросы про математику и дифуры

[Algorithm]

Приветствую всех! Давно мне не дают покоя некоторые вопросы, на которые во время учебы в универе не сумел найти доходчивого ответа. Может здесь поможет кто... Дело в том, что для меня стиль мышления математиков является совершенной загадкой. Когда я учился, меня повергали в недоумение строчки в учебнике в стиле: "нетрудно заметить", "после несложных преобразований получим", "решение дифура будем искать в виде".

Потому хочу спросить:
1. Как люди додумались, что решение какого-нибудь дифура нужно искать именно в таком виде? Ну не перебором же? Интересен именно ход мыслей математиков. Как пришли к такому выводу, как выбрали функцию? Есть ведь огромные справочники по дифурам и для каждого уравнения ответ. Как же сумели их составить?
Вот я обычный человек, записано у меня уравнение... Как я могу его решить не заглядывая в справочник, по какому алгоритму искал бы решение, если бы не знал заранее его вид?

2. Еще интересуют комплексные числа. Мне всегда казалось, что это что-то вроде математического трюка. Физического смысла не имеют, а разные преобразования и решения дифуров упрощают. Так ли это? При объяснении темы про комплексные числа преподаватели как-то не особенно вдавались в вопрос о их полезности. Просто ставили перед фактом, что будем учить, а зачем и какая от них польза не объясняли. Ведь если их придумали, то есть в них какая-то выгода. Хотелось бы подробней узнать исторические предпосылки применения комплексных чисел и где упростилась жизнь после их введения. Можно ли без них обойтись?

3. Правда ли, что при решении дифуров на компьютере, то есть при использовании численных методов, решение сколь угодно сложных дифуров сводиться к решению линейных алгебраических уравнений? То есть необходима процедура линеаризации (кажется так это называется)?

[ewert]

1. Ну просто захотели -- вот и составили.

2. А это интересный вопрос. Комплексные числа действительно часто воспринимаются как нечто мистическое. Хотя на самом деле исторические предпосылки у них ровно те же, что и у всех прочих числовых множеств -- потребность в решении каких-то уравнений. Отрицательные числа возникли из желания решать произвольные уравнения вида $x+a=b$, рациональные -- из уравнений $x\cdot a=b$, ну и комплексные -- из необходимости придать хоть какой-то смысл корням произвольных алгебраических уравнений.
А потребность в этом была, и вполне практическая. Ведь если, скажем, у квадратного уравнения дискриминант отрицательный, то это ещё не означает, что можно просто от него отмахнуться: мол, нет корней -- ну на нет и суда нет. Поскольку уравнение-то возникло не с потолка, а из какой-нибудь физической (допустим) задачи, а её хоть как-то решать, да надо.
(Действительные числа в этой цепочке стоят особняком, причина их появления более тонкая.)

3. Неправда.

[Someone]

2. В электротехнике цепи переменного тока описываются с помощью комплексных чисел (комплексные токи, напряжения, сопротивления).

[Algorithm]

Someone писал(а):

2. В электротехнике цепи переменного тока описываются с помощью комплексных чисел (комплексные токи, напряжения, сопротивления).

Такой способ дает существенный выйгрыш или экономию? Могли бы они описываться по-другому или альтернатив нет?

ewert писал(а):

3. Неправда.

Как же тогда из положения выходят, ведь компьютер только арифметику знает?

ewert писал(а):

1. Ну просто захотели -- вот и составили.

Ну это понятно, что хотение тут главное. Только вот каким методом все это делали? Ну не научным же тыком решения находили, на это бы жизни не хватило.

[Someone]

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Такой способ дает существенный выйгрыш или экономию?

Да. Если бы выигрыша не было, этим не пользовались бы.

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Могли бы они описываться по-другому или альтернатив нет?

Разумеется, Вы можете расписать комплексную арифметику через действительные числа. Получатся гораздо более громоздкие формулы.

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Как же тогда из положения выходят, ведь компьютер только арифметику знает?

Algorithm в сообщении #137699 писал(а):

Правда ли, что при решении дифуров на компьютере, то есть при использовании численных методов, решение сколь угодно сложных дифуров сводиться к решению линейных алгебраических уравнений?

Вам не кажется, что это совершенно разные вопросы? Арифметики хватает, но при этом совершенно не обязательно нужно решать именно линейные алгебраические уравнения.

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Только вот каким методом все это делали? Ну не научным же тыком решения находили, на это бы жизни не хватило.

Ну, этим же не один человек занимался. Тысячи математиков на протяжении столетий... Опыт, приобретённый при решении одних задач, часто помогает решать другие.

[Brukvalub]

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Someone писал(а):
2. В электротехнике цепи переменного тока описываются с помощью комплексных чисел (комплексные токи, напряжения, сопротивления).

Такой способ дает существенный выйгрыш или экономию? Могли бы они описываться по-другому или альтернатив нет?

Каждая операция с комплексными числами может быть записана в виде пары операций с их действительными и мнимыми частями. Но проще и естественнее оперировать именно с комплексными числами.

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Ну не научным же тыком решения находили, на это бы жизни не хватило.

Придумывали, опираясь на свой опыт в дифференцировании, линейной алгебре и т.д. Кстати, схемы решения придуманы далеко не для всех возможных типов диф. уравнений, а только для некоторых...

[bot]

Algorithm в сообщении #137711 писал(а):

Ну не научным же тыком решения находили, на это бы жизни не хватило.

В том числе и им, родимым. А жизней ведь много было и много ещё будет. Один математик туда-сюда потыкает, а другой - сюда-туда, вот и набирается.

Добавлено спустя 4 минуты 57 секунд:

Отправил и задумался: а ведь научный тык - это и есть главный метод в математике, да собссно и в любой науке, а то, что Вы видите в разных учебниках - это во-первых для ремесленников, а во-вторых - фундамент для новых научных тыков. Без овладения фундаментальными знаниями тыкать можно только ненаучно, что мы и наблюдаем во многих темах этого раздела.

[ewert]

Algorithm писал(а):

Someone писал(а):

2. В электротехнике цепи переменного тока описываются с помощью комплексных чисел (комплексные токи, напряжения, сопротивления).

Такой способ дает существенный выйгрыш или экономию? Могли бы они описываться по-другому или альтернатив нет?

Альтернативы есть всегда, но. Процессы в цепях переменного тока описываются системами линейных дифференциальных уравнений (производные берутся по времени). И если речь о процессах общего вида, то тут уж ничего не поделаешь -- дифуры и надо решать. Однако на практике наибольший интерес представляет случай, когда на вход подаётся чистая синусоида (почему интересно именно это -- вопрос отдельный). Но и тут всё не совсем слава богу: при дифференцировании синусы переходят в косинусы и наоборот, что сильно запутывает ситуацию. А вот если объединить синусы с косинусами в комплексную экспоненту: $\cos(\omega t)+i\,\sin(\omega t)=e^{i\omega t}$, то всё становится легко и просто. Ибо производная любой экспонента есть ровно та же самая экспонента (ну разве что с дополнительным множителем), так что дифференциальные уравнения мгновенно и автоматически превращаются в обычные линейные алгебраические.

[Algorithm]

Someone писал(а):

Algorithm в сообщении #137699 писал(а):

Правда ли, что при решении дифуров на компьютере, то есть при использовании численных методов, решение сколь угодно сложных дифуров сводиться к решению линейных алгебраических уравнений?

Вам не кажется, что это совершенно разные вопросы? Арифметики хватает, но при этом совершенно не обязательно нужно решать именно линейные алгебраические уравнения.

В общем-то кажется... Наверное, неправильно я что-то сказал. Просто в литературе по численным методам огромное значение придают СЛАУ. СЛАУ там, СЛАУ сям. Матричная алгебра и тд. Насколько я понял из Вашего ответа, уравнения будут алгебраическими, но не всегда линейными, хотя, если бы они были линейными, то жить было бы проще? Поэтому к ним и стремяться... Так?

ewert писал(а):

Процессы в цепях переменного тока описываются системами линейных дифференциальных уравнений (производные берутся по времени).

А эти процессы и ДУ им соответствующие всегда линейны???

[ewert]

Algorithm писал(а):

А эти процессы и ДУ им соответствующие всегда линейны???

нет, конечно. Но очень часто или линейны, или их можно с приемлемой точностью линеаризовать.