Помогите разобраться в определении категории

[OlgaD]

Изучаю теорию категорий самостоятельно. В книге Букур, Деляну Введение в теорию категорий и функторов приводится подробное определение категории. Вызвал вопрос только последний пункт в определении: если пары $(A,B),(A',B')$ различны, то пересечение соответствующих $hom$-множеств пусто.
Если я правильно поняла это условие, морфизм однозначно определяется своей областью и кообластью.
Например, две функции $f:Z\rightarrow Z$ и $g:Z\rightarrow R,$ задающиеся одной формулой $x\mapsto 2x,$ идентичны? Но в теории категорий уже различны. Почему?

[Slav-27]

OlgaD в сообщении #1377012 писал(а):

морфизм однозначно определяется своей областью и кообластью.

Между данными 2 объектами может быть много разных морфизмов.

OlgaD в сообщении #1377012 писал(а):

Например, две функции $f:Z\rightarrow Z$ и $g:Z\rightarrow R,$ задающиеся одной формулой $x\mapsto 2x,$

Они похожи, но всё-таки не одно и то же.

[vpb]

Это вопрос соглашения. ТК была придумана, чтоб не было путаницы в рассуждениях и головах в некоторых сложных ситуациях (в топологии, алгебре и т.д.), когда не уследить непосредственно, что чему соответствует и т.д. И чтобы не было такой путаницы, оказывается, надо считать, в приведенном примере, морфизмы различными. Проверено практикой.

[Munin]

OlgaD в сообщении #1377012 писал(а):

Если я правильно поняла это условие, морфизм однозначно определяется своей областью и кообластью.

Наоборот, область и кообласть однозначно определяются морфизмом :-)

Про функции известное место.
1. Просто примите, что морфизмы в категории множеств $\mathrm{Set}$ таковы.
2. Подумайте, а что означает понятие сюръективной функции. Сюръективна ли $x\mapsto|x|$?

[george66]

Читайте мой учебник, я там этот вопрос разбираю в самом начале
https://github.com/George66/Textbook

[OlgaD]

Munin в сообщении #1377015 писал(а):

Наоборот, область и кообласть однозначно определяются морфизмом

Есть морфизм $x\mapsto 2x.$ Как по нему определить область и кообласть?

Munin в сообщении #1377015 писал(а):

1. Просто примите, что морфизмы в категории множеств $\mathrm{Set}$ таковы.

Каковы?

Munin в сообщении #1377015 писал(а):

2. Подумайте, а что означает понятие сюръективной функции. Сюръективна ли $x\mapsto|x|$?

Думаю, сюръективна. Но вроде бы, образ функции и кообласть вещи разные?

[Dragon27]

OlgaD в сообщении #1377066 писал(а):

Есть морфизм $x\mapsto 2x.$ Как по нему определить область и кообласть?

Домен и кодомен являются необходимой частью определения/задания морфизма. Если вы не задали их (или их не вывести неявно), значит вы не задали морфизм.

[OlgaD]

Dragon27 в сообщении #1377069 писал(а):

Домен и кодомен являются необходимой частью определения/задания морфизма. Если вы не задали их (или их не вывести неявно), значит вы не задали морфизм.

Тогда совсем не понимаю утверждение:

Munin в сообщении #1377015 писал(а):

область и кообласть однозначно определяются морфизмом

Определяются, потому что мы их явно указываем при задании морфизма.

[Dragon27]

OlgaD в сообщении #1377080 писал(а):

Тогда совсем не понимаю утверждение:

OlgaD в сообщении #1377080 писал(а):

Определяются, потому что мы их явно указываем при задании морфизма.

Ну вот же, поняли. А говорите, что не понимаете (:

[OlgaD]

Ха, как в анекдоте, вернемся к нашим баранам. Возвращаясь к моему первоначальному вопросу, зачем этот пункт в определении?

-- 19.02.2019, 14:24 --

Munin в сообщении #1377015 писал(а):

Сюръективна ли $x\mapsto|x|$?

Будет сюръективной, если кообласть не включает в себя отрицательные числа.

[Dragon27]

OlgaD в сообщении #1377084 писал(а):

Возвращаясь к моему первоначальному вопросу, зачем этот пункт в определении?

Ну там немного аспект другой. Мы задаём морфизм как часть множества $Hom(A,B)$ и уславливаемся, что для разных (упорядоченных) пар объектов эти множества не пересекаются. Т.е. каждый морфизм принадлежит только одному такому множеству. Можно точно так же сказать, что в каждом морфизме непосредственно прописано, какому именно множеству $Hom(A,B)$ он принадлежит (прописано, что у него является доменом, а что кодоменом).
Так как эта аксиома является обязательной при задании категории и её морфизмов, можно сказать, что если она не удовлетворяется, то это не морфизмы (:

[Munin]

OlgaD в сообщении #1377066 писал(а):

Есть морфизм $x\mapsto 2x.$ Как по нему определить область и кообласть?

Это не морфизм. Морфизмом будет, например, $\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto 2x.$ Или $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\to\mathbb{R}_{\geqslant 0},\quad x\mapsto 2x.$ Или даже $\mathbb{R}_{\geqslant 0}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto 2x.$ И это всё - разные морфизмы.

OlgaD в сообщении #1377084 писал(а):

Будет сюръективной, если кообласть не включает в себя отрицательные числа.

Вот видите, то есть кообласть указывать всё-таки нужно, одной формулы мало.

[OlgaD]

Dragon27 в сообщении #1377087 писал(а):

Так как эта аксиома является обязательной при задании категории и её морфизмов, можно сказать, что если она не удовлетворяется, то это не морфизмы (:

Но в категории множеств это так? Или все-таки нет?

[Dragon27]

OlgaD в сообщении #1377153 писал(а):

Но в категории множеств это так? Или все-таки нет?

Что так?

[Munin]

OlgaD в сообщении #1377012 писал(а):

Например, две функции $f:Z\rightarrow Z$ и $g:Z\rightarrow R,$ задающиеся одной формулой $x\mapsto 2x,$ идентичны? Но в теории категорий уже различны. Почему?

Это два разных морфизма в категории множеств $\mathrm{Set}.$ Почему? Потому что потому.

Представьте себе граф. В нём можно нарисовать два жёлтых ребра: одно из вершины $A$ в вершину $A,$ другое из вершины $A$ в вершину $B.$ Вам достаточно очевидно, что это разные рёбра? Хотя и одного цвета.

Заходя с другой стороны, вы хотите, чтобы эти две функции считались "идентичными". Пожалуйста. Определяйте соответствующее отношение эквивалентности между функциями. Но надеюсь, вы понимаете, что отношений эквивалентности - пруд пруди, и от того, что вы введёте какое-то своё новое, оно не станет моментально "единственным истинным".