2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение17.02.2019, 17:51 
Аватара пользователя


07/12/12
90
Не могу победить уравнения Эйлера, описывающие вращение тела с неподвижной точкой.
Кинетические уравнения Эйлера имеют особенность при малых углах нутации, при численном интегрировании (уже попробовал) вблизи особой точки тело кувыркается на 180 градусов. Один из вариантов регуляризации - переход к параметрам Родрига-Гамильтона, дифференциальные уравнения становятся линейными и прекрасно решаются.

Но, вот, засада, обратное преобразование к углам Эйлера оказывается разрывной функцией, не могу найти в литературе, как корректно пересчитать углы Эйлера. Формулы обратного преобразования часто приводят в книгах описывающих динамику вращения, а вот то, что они имеют точки разрыва, как-то стесняются упоминать.
$\alpha=\arctg(\frac{\lambda_3}{\lambda_0})+\arctg(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})$
$\beta=2\arctg(\frac{\sqrt{\lambda^2_2+\lambda^2_1}}{\sqrt{\lambda^2_0+\lambda^2_3}})$
$\gamma=\arctg(\frac{\lambda_3}{\lambda_0})-\arctg(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})$
$\alpha,\beta,\gamma$-углы Эйлера
$\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$-параметры Родрига-Гамильтона.

Кому попадалось, как наиболее просто перейти от параметров $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ к ориентации тела?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение17.02.2019, 19:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А вам под конец точно углы Эйлера нужны, а не например матрица поворота? (Тогда арктангенсы и вообще тригонометрия не понадобятся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение17.02.2019, 20:33 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ben в сообщении #1376647 писал(а):
Кинетические уравнения Эйлера имеют особенность при малых углах нутации

Естественно, там вырождаются углы Эйлера. Введите их по-другому.А можно просто написать уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой без всяких углов Эйлера и параметров Родрига. Если это движение в поле силы тяжести, то делаем следующим образом. Все векторы расписываются по декартовой системе связанной с твердым телом. Теорема об изменении кин. момента:
$$J_O\boldsymbol{\dot \omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=[\boldsymbol{OS},-mg\boldsymbol n];$$
Точкой обозначена производная от координат вектора в системе связанной с твердым телом. $O$ -- неподвижная точка твердого тела, $S$ -- центр масс твердого тела, $\boldsymbol n$ -- единичный вектор, смотрящий вертикально вверх. Условие постоянства вектора $\boldsymbol n$ относительно инерциальной системы:
$$\boldsymbol{\dot n}+[\boldsymbol\omega, \boldsymbol n]=0.$$
Мы получили систему из двух векторных уравнений на два неизвестных вектора $\boldsymbol\omega,\boldsymbol n$ Можно ставить задачу Коши и совать это в компьютер :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение18.02.2019, 12:14 
Аватара пользователя


07/12/12
90
arseniiv в сообщении #1376678 писал(а):
А вам под конец точно углы Эйлера нужны, а не например матрица поворота? (Тогда арктангенсы и вообще тригонометрия не понадобятся.)

Да, я видел как получается матрица направляющих косинусов из кватерниона $\lambda$, но не нашел обратного преобразования кватернион->матрица косинусов.
Мне нужна мультипликация, поэтому считать приходится маленькими шагами динамические уравнения Эйлера на проекции угловых скоростей а потом кинетические уравнения на приращения параметров ориентации. Чтобы замкнуть численную схему, нужно иметь оба перехода:
(ориентация тела)->(параметризация, линеаризующая кинетические уравнения);
(абстрактные параметры)->(ориентация тела).
Цитата:
А можно просто написать уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой без всяких углов Эйлера и параметров Родрига. Если это движение в поле силы тяжести, то делаем следующим образом. Все векторы расписываются по декартовой системе связанной с твердым телом. Теорема об изменении кин. момента:

Шаростержневые модели молекул, но это не проблема, моменты сил я по любому пересчитываю в подвижную СК ориентированную по главным осями инерции.
Только, проблема не в уравнении на угловые скорости, а в уравнении на углы (или другие параметры ориентации). А Вы привели только уравнения на угловые скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение18.02.2019, 12:51 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ben в сообщении #1376866 писал(а):
А Вы привели только уравнения на угловые скорости.

а что матрицу перехода по угловой скорости трудно найти?
Пусть $\boldsymbol e_i(t),\quad i=1,2,3$ -- репер системы связанной с твердым телом. Введем матрицу перехода $X(t):\quad X(t)\boldsymbol e_i(t)=\boldsymbol e_i(0)$. Дифференцируя это равество, получаем $\dot X\boldsymbol e_i(t)+X(t)[\boldsymbol\omega,\boldsymbol e_i(t)]=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона
Сообщение18.02.2019, 15:36 
Аватара пользователя


07/12/12
90
Точно, видел такой путь к описанию вращения (сразу не понял), в результате получается 3+6=9 ОДУ с учетом того, что один вектор базиса зависим.
Через углы Эйлера 3+3=6 ОДУ.
Через параметры Родрига-Гамильтона 3+4=7 ОДУ.
В общем, попытаюсь добить вариант с линеаризацией кинематических уравнений, вроде совсем не много осталось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group