Вращение тела, параметры Родрига-Гамильтона

[Ben]

Не могу победить уравнения Эйлера, описывающие вращение тела с неподвижной точкой.
Кинетические уравнения Эйлера имеют особенность при малых углах нутации, при численном интегрировании (уже попробовал) вблизи особой точки тело кувыркается на 180 градусов. Один из вариантов регуляризации - переход к параметрам Родрига-Гамильтона, дифференциальные уравнения становятся линейными и прекрасно решаются.

Но, вот, засада, обратное преобразование к углам Эйлера оказывается разрывной функцией, не могу найти в литературе, как корректно пересчитать углы Эйлера. Формулы обратного преобразования часто приводят в книгах описывающих динамику вращения, а вот то, что они имеют точки разрыва, как-то стесняются упоминать.
$\alpha=\arctg(\frac{\lambda_3}{\lambda_0})+\arctg(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})$
$\beta=2\arctg(\frac{\sqrt{\lambda^2_2+\lambda^2_1}}{\sqrt{\lambda^2_0+\lambda^2_3}})$
$\gamma=\arctg(\frac{\lambda_3}{\lambda_0})-\arctg(\frac{\lambda_2}{\lambda_1})$
$\alpha,\beta,\gamma$-углы Эйлера
$\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$-параметры Родрига-Гамильтона.

Кому попадалось, как наиболее просто перейти от параметров $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ к ориентации тела?

[arseniiv]

А вам под конец точно углы Эйлера нужны, а не например матрица поворота? (Тогда арктангенсы и вообще тригонометрия не понадобятся.)

[pogulyat_vyshel]

Ben в сообщении #1376647 писал(а):

Кинетические уравнения Эйлера имеют особенность при малых углах нутации

Естественно, там вырождаются углы Эйлера. Введите их по-другому.А можно просто написать уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой без всяких углов Эйлера и параметров Родрига. Если это движение в поле силы тяжести, то делаем следующим образом. Все векторы расписываются по декартовой системе связанной с твердым телом. Теорема об изменении кин. момента:

$$J_O\boldsymbol{\dot \omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=[\boldsymbol{OS},-mg\boldsymbol n];$$

Точкой обозначена производная от координат вектора в системе связанной с твердым телом. $O$ -- неподвижная точка твердого тела, $S$ -- центр масс твердого тела, $\boldsymbol n$ -- единичный вектор, смотрящий вертикально вверх. Условие постоянства вектора $\boldsymbol n$ относительно инерциальной системы:

$$\boldsymbol{\dot n}+[\boldsymbol\omega, \boldsymbol n]=0.$$

Мы получили систему из двух векторных уравнений на два неизвестных вектора $\boldsymbol\omega,\boldsymbol n$ Можно ставить задачу Коши и совать это в компьютер :)

[Ben]

arseniiv в сообщении #1376678 писал(а):

А вам под конец точно углы Эйлера нужны, а не например матрица поворота? (Тогда арктангенсы и вообще тригонометрия не понадобятся.)

Да, я видел как получается матрица направляющих косинусов из кватерниона $\lambda$, но не нашел обратного преобразования кватернион->матрица косинусов.
Мне нужна мультипликация, поэтому считать приходится маленькими шагами динамические уравнения Эйлера на проекции угловых скоростей а потом кинетические уравнения на приращения параметров ориентации. Чтобы замкнуть численную схему, нужно иметь оба перехода:
(ориентация тела)->(параметризация, линеаризующая кинетические уравнения);
(абстрактные параметры)->(ориентация тела).

Цитата:

А можно просто написать уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой без всяких углов Эйлера и параметров Родрига. Если это движение в поле силы тяжести, то делаем следующим образом. Все векторы расписываются по декартовой системе связанной с твердым телом. Теорема об изменении кин. момента:

Шаростержневые модели молекул, но это не проблема, моменты сил я по любому пересчитываю в подвижную СК ориентированную по главным осями инерции.
Только, проблема не в уравнении на угловые скорости, а в уравнении на углы (или другие параметры ориентации). А Вы привели только уравнения на угловые скорости.

[pogulyat_vyshel]

Ben в сообщении #1376866 писал(а):

А Вы привели только уравнения на угловые скорости.

а что матрицу перехода по угловой скорости трудно найти?
Пусть $\boldsymbol e_i(t),\quad i=1,2,3$ -- репер системы связанной с твердым телом. Введем матрицу перехода $X(t):\quad X(t)\boldsymbol e_i(t)=\boldsymbol e_i(0)$. Дифференцируя это равество, получаем $\dot X\boldsymbol e_i(t)+X(t)[\boldsymbol\omega,\boldsymbol e_i(t)]=0$

[Ben]

Точно, видел такой путь к описанию вращения (сразу не понял), в результате получается 3+6=9 ОДУ с учетом того, что один вектор базиса зависим.
Через углы Эйлера 3+3=6 ОДУ.
Через параметры Родрига-Гамильтона 3+4=7 ОДУ.
В общем, попытаюсь добить вариант с линеаризацией кинематических уравнений, вроде совсем не много осталось.