Конфигурационное пространство

[Munin]

Положения точки - да. Но положение системы определяется не только положением точки. Вот в чём нюанс.

-- 17.02.2019 17:15:42 --

Пример: пусть точка неподвижна в нижнем полюсе (наши друзья-математики обозначают это через $\theta=\pi,$ мне не нравится, но они первыми ввели обозначения). Тогда система - вырожденная, положение обруча - циклическая координата. Однако это не значит, что положения обруча не существует. Вполне существует, и конфигурационное пространство обруча в таком положении - это окружность $S^1.$

[Ruslan_Sharipov]

Munin в сообщении #1376631 писал(а):

Положения точки - да. Но положение системы определяется не только положением точки. Вот в чём нюанс.

При невесомом обруче его положение никакой роли для динамики системы не играет. Это подвес. Разумеется, возвратно по динамике точки чисто кинематически можно восстановить динамику обруча всюду, кроме двух исключительных точек.

[Munin]

Ну так извините, тезис автора темы как раз в том, что конфигурационное пространство от динамики системы не должно зависеть. Отсюда и получается, что пространство $S^2$ было посчитано неверно.

[Ruslan_Sharipov]

Munin в сообщении #1376638 писал(а):

Тезис автора темы как раз в том, что конфигурационное пространство от динамики системы не должно зависеть.

В пределах одной динамической системы - да. Но $M=0$ и $M\neq 0$ - это разные динамические системы.

[Red_Herring]

warlock66613 в сообщении #1376614 писал(а):

Действительно, проверил - не появляются.

На самом деле можно считать что конфигурационное пространство это $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^1$ со связью $\phi=\psi$, которая вдруг при $\theta=0,\pi$ "испаряется". Не уверен, однако, что от этого можно извлечь что-нибудь.

[pogulyat_vyshel]

А есть еще такой нюанс. Рассмотрим математический маятник (невесомый стержень , один конец неподвижен, на другом конце -- материальная точка массы $m$). Все знают, что конфигурационное пространство этой системы $\mathbb{S}^1$. Однако, можно ввести в плоскости качания маятника декартовы координаты $x,y$ с началом в точке подвеса маятника и за $x,y$ обозначить координаты точки $m$; и считать что конфигурационное пространство системы это плоскость $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\}$ на которой задано распределение $xdx+ydy=0$, или говоря на языке механики, связь $x\dot x+y\dot y=0$.
Соответствующие дифференциальные Лагранжа со множителями будут иметь первый интеграл $f(x,y,\dot x,\dot y)=x\dot x+y\dot y.$
Реальные движения математического маятника будут лежать на поверхности $\{f=0\}$ в фазовом пространстве $(x,y,\dot x,\dot y)$.
Такой метод используется в неголономных системах, или когда связи голономны, но проинтегрировать их явно тяжело или невозможно.