Решение рекуррентных уравнений

[Борис Лейкин]

$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

[photon]

Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?

[Борис Лейкин]

photon писал(а):

Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?

Подходит. А каким образом решил?

[photon]

Никак не решал - сразу ответ виден был $x(1)=a^2=a^{2^1}$; $x(2)=(a^2)^2=a^{2\cdot2}=a^{2^2}$; $x(3)=(a^{2\cdot2})^2=a^{2\cdot2\cdot2}=a^{2^3}$... $a(n)=a^{2^n}$

[Борис Лейкин]

$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть?

[Аурелиано Буэндиа]

Борис Лейкин писал(а):

$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть?

Борис, это процесс Мандельброда-Жолиа ($z^2+c \rightarrow z$). Вы что фракталами увлеклись?

[sasa]

Борис Лейкин писал(а):

$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

If $ y(n):= x(n)^{\frac{1}{2^n}} , $ then $ y(0)=a $ and $ y(n+1)=y(n) \; ,\; \; \; \forall n \in {\mathbb N}:=\{0,1,....\} . $
But this means that the sequence $\left(y(n)\right)_{n=0}^{\infty} $ is constant, more precisely $ y(n)=y(0)=a\; \; ,\; \; \forall n\in {\mathbb N}. $
Therefore $ x(n)=y(n)^{2^n}=a^{2^n} . $

[Борис Лейкин]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Вы что фракталами увлеклись?

Нет, я, кажется, сашёл, сума.

[Борис Лейкин]

sasa писал(а):

...

Mulţumesc, sasa.
Don't you know, why this one: $x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
- is so difficult to solve.

And for other crazy recurrence solvers:
$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

[Руст]

А это последовательность $x(n+2)=x(n+1)^ax(n)^b$ эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n)):
$y(n+2)=ay(n+1)+by(n)$.
и соответственно легко решается. Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.

[Genrih]

Борис Лейкин писал(а):

$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

Руст писал(а):

... эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n))

Итого: $x_n = \frac{b^{3^n}}{b^{2^n}} \frac{a^{3*2^n}}{a^{2*3^n}}$

[Борис Лейкин]

Руст писал(а):

Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.

А не имеющие решения? Ну, вобщем, я и хотел создать эту тему, чтобы узнать какие
рекуррентные формулы решаются, а какие нет.

Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

[Genrih]

Борис Лейкин писал(а):

Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

Заведомо нуль http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1705

Добавлено
Разумеется, говорю о пределе последовательности. Просто: "что значит решение реккурентной формулы ? ".