2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение рекуррентных уравнений
Сообщение17.03.2006, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:07 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11626
Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
photon писал(а):
Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?


Подходит. А каким образом решил?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:13 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
11626
Никак не решал :D - сразу ответ виден был $x(1)=a^2=a^{2^1}$; $x(2)=(a^2)^2=a^{2\cdot2}=a^{2^2}$; $x(3)=(a^{2\cdot2})^2=a^{2\cdot2\cdot2}=a^{2^3}$... $a(n)=a^{2^n}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть? :twisted: :cry:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:52 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть? :twisted: :cry:

Борис, это процесс Мандельброда-Жолиа ($z^2+c \rightarrow z$). Вы что фракталами увлеклись?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение17.03.2006, 20:31 


09/03/06
32
Sibiu ,Romania
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

If $ y(n):= x(n)^{\frac{1}{2^n}} , $ then $ y(0)=a  $ and $ y(n+1)=y(n) \; ,\; \; \; \forall n \in {\mathbb N}:=\{0,1,....\} . $
But this means that the sequence $\left(y(n)\right)_{n=0}^{\infty} $ is constant, more precisely $   y(n)=y(0)=a\; \; ,\; \; \forall  n\in {\mathbb N}. $
Therefore $ x(n)=y(n)^{2^n}=a^{2^n} . $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Вы что фракталами увлеклись?


Нет, я, кажется, сашёл, сума. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение19.03.2006, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
sasa писал(а):
...


Mulţumesc, sasa.
Don't you know, why this one: $x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
- is so difficult to solve.

And for other crazy recurrence solvers:
$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.03.2006, 18:20 
Заслуженный участник


09/02/06
4365
Москва
А это последовательность $x(n+2)=x(n+1)^ax(n)^b$ эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n)):
$y(n+2)=ay(n+1)+by(n)$.
и соответственно легко решается. Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение20.03.2006, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

Руст писал(а):
... эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n))

Итого: $x_n = \frac{b^{3^n}}{b^{2^n}}  \frac{a^{3*2^n}}{a^{2*3^n}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
Руст писал(а):
Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.


А не имеющие решения? Ну, вобщем, я и хотел создать эту тему, чтобы узнать какие
рекуррентные формулы решаются, а какие нет.

Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.03.2006, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Борис Лейкин писал(а):
Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

Заведомо нуль :arrow: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1705

Добавлено
Разумеется, говорю о пределе последовательности. Просто: "что значит решение реккурентной формулы ? ".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group