2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Решение рекуррентных уравнений
Сообщение17.03.2006, 19:03 
Аватара пользователя
$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

 
 
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:07 
Аватара пользователя
Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?

 
 
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:11 
Аватара пользователя
photon писал(а):
Тогда $x(n)=a^{2^n}$, правильно?


Подходит. А каким образом решил?

 
 
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:13 
Аватара пользователя
Никак не решал :D - сразу ответ виден был $x(1)=a^2=a^{2^1}$; $x(2)=(a^2)^2=a^{2\cdot2}=a^{2^2}$; $x(3)=(a^{2\cdot2})^2=a^{2\cdot2\cdot2}=a^{2^3}$... $a(n)=a^{2^n}$

 
 
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:21 
Аватара пользователя
$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть? :twisted: :cry:

 
 
 
 
Сообщение17.03.2006, 19:52 
Аватара пользователя
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
Вот здесь какой ответ, как его увидеть? :twisted: :cry:

Борис, это процесс Мандельброда-Жолиа ($z^2+c \rightarrow z$). Вы что фракталами увлеклись?

 
 
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение17.03.2006, 20:31 
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+1)=x(n)^2, x(0)=a$? Как?

If $ y(n):= x(n)^{\frac{1}{2^n}} , $ then $ y(0)=a  $ and $ y(n+1)=y(n) \; ,\; \; \; \forall n \in {\mathbb N}:=\{0,1,....\} . $
But this means that the sequence $\left(y(n)\right)_{n=0}^{\infty} $ is constant, more precisely $   y(n)=y(0)=a\; \; ,\; \; \forall  n\in {\mathbb N}. $
Therefore $ x(n)=y(n)^{2^n}=a^{2^n} . $

 
 
 
 
Сообщение19.03.2006, 17:11 
Аватара пользователя
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Вы что фракталами увлеклись?


Нет, я, кажется, сашёл, сума. 8-)

 
 
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение19.03.2006, 17:37 
Аватара пользователя
sasa писал(а):
...


Mulţumesc, sasa.
Don't you know, why this one: $x(n+1)=x(n)^2-1, x(0)=x_0$
- is so difficult to solve.

And for other crazy recurrence solvers:
$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

 
 
 
 
Сообщение19.03.2006, 18:20 
А это последовательность $x(n+2)=x(n+1)^ax(n)^b$ эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n)):
$y(n+2)=ay(n+1)+by(n)$.
и соответственно легко решается. Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.

 
 
 
 Re: Решение рекуррентных формул
Сообщение20.03.2006, 19:19 
Аватара пользователя
Борис Лейкин писал(а):
$x(n+2)=\frac{x(n+1)^5}{x(n)^6}, x(0)=a,x(1)=b$?

Руст писал(а):
... эквивалентно линейному рекурентному соотношению относительно y(n)=ln(x(n))

Итого: $x_n = \frac{b^{3^n}}{b^{2^n}}  \frac{a^{3*2^n}}{a^{2*3^n}}$

 
 
 
 
Сообщение20.03.2006, 19:50 
Аватара пользователя
Руст писал(а):
Есть и другие нелинейные рекурентные соотношения, не сводящиеся к линейным имеющие аналитическое решение, как и дифференциальные уравнения.


А не имеющие решения? Ну, вобщем, я и хотел создать эту тему, чтобы узнать какие
рекуррентные формулы решаются, а какие нет.

Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

 
 
 
 
Сообщение20.03.2006, 20:11 
Аватара пользователя
Борис Лейкин писал(а):
Вот это, например?: $x(n+1)=\sin{x(n)}$

Заведомо нуль :arrow: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1705

Добавлено
Разумеется, говорю о пределе последовательности. Просто: "что значит решение реккурентной формулы ? ".

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group