Определение второй квадратичной формы

[philurame]

Доброго времени суток! Помогите пожалуйста понять эту вещь. Первую квадратичную форму я воспринимаю как скалярное произведение, то есть $I \in\ $ $S$ $^2(\Omega M)$ (симметрический квадрат пространства один-форм многообразия $M(\subset\mathbb{R}^3$)); исходя из такого определения все сразу становится ясно.
Но как определить $II$? Везде и всюду это определяют через "приращения", берут дифференциал от дифференциала, что выглядит, по мне, не очень приятно: привычное $d(d(\omega))\equiv0$ не хочется переосмысливать, да и какого тогда пространства будет элемент $II$?
Прошу поведать определение без использования "приращений".
(вообще, я сегодня узнал о ковариантной производной, так что можно использовать и ее, если по-другому никак)

[Slav-27]

Пусть $M$ -- риманово многообразие, $Q$ -- вложенное подмногообразие.

$M$ риманово, значит, на нём есть метрика и задаваемая ею ковариантная производная $\tilde\nabla$. В то же время метрика на $M$ задаёт метрику на $Q$ и, соответственно, ковариантную производную $\nabla$ на $Q$. Давайте подумаем, как связаны $\tilde \nabla$ и $\nabla$.

А именно, встанем в какую-нибудь точку $p$ на $Q$. Пусть $\tilde X$ -- какое-нибудь векторное поле на $M$ (или на некоторой окрестности точки $p$ в $M$), и пусть $w$ -- какой-нибудь вектор, касательный к $Q$ в $p$. Поле $\tilde X$ можно ограничить до поля $X$ на $Q$ (или, соответственно, на некоторой окрестности $p$ в $Q$). Вопрос: как связаны $\tilde\nabla_w\tilde X$ и $\nabla_wX$?

Ответ. Разложим вектор $\tilde\nabla_w \tilde X$ на 2 составляющие: касательную к $Q$ и перпендикулярную $Q$. Оказывается, касательная составляющая есть в точности $\nabla_wX$. Что же касается нормальной составляющей, то она (в отличие от касательной) не зависит от поведения $X$ в окрестности $p$, а зависит только от его значения $X_p=:v$. Эта нормальная составляющая и называется второю квадратичною формою $\mathrm{I\!I}(v,w)$. Она симметрична относительно перестановки $v$ и $w$. Итак, вторая квадратичная форма берёт 2 вектора, касательных к подмногообразию $Q$ в $p$, и возвращает вектор, нормальный к $Q$ в $p$.

Если рассматривать не произвольное подмногообразие, а гиперповерхность (например, гладкую ориентированную 2-мерную поверхность в $\mathbb R^3$), то пространство нормальных векторов будет одномерно, и в этом случае можно считать, что 2-я квадратичная форма даёт не нормальный вектор, а число: компоненту вдоль положительной единичной нормали. Получается просто симметричная билинейная форма на поверхности.

В общем случае можно брать проекцию на произвольный нормальный вектор (то есть $\langle n, \mathrm{I\!I}(v,w) \rangle$) и считать, что 2-я квадратичная форма подмногообразия $Q$ -- это симметричная билинейная форма на $Q$, зависящая от нормального вектора $n$.

Наконец, можно "поднять у этой билинейной формы один индекс" и получить линейный оператор на касательном расслоении, зависящий от нормального вектора $n$; этот оператор $S_n$ определяется формулою $\langle n,\mathrm{I\!I}(v,w)\rangle=\langle S_n v, w\rangle$. В силу симметричности 2-й квадратичной формы он самосопряжён (то есть $\langle S_n v, w\rangle=\langle v, S_n w\rangle$). Называется он оператором формы (shape operator).

(Оффтоп)

Почему "вторая"?

1-я квадратичная форма -- это скалярное произведение $\mathrm{I}(v,w)=\langle v,w \rangle$; вторая $\mathrm{I\!I}(v,w)=\langle S_n v,w \rangle=\langle v,S_n w \rangle$; можно определить третью $\mathrm{I\!I\!I}(v,w)=\langle S_n^2v,w \rangle=\langle S_n v,S_n w \rangle=\langle v, S_n^2w \rangle$, четвёртую $\mathrm{I\!V}(v,w)=\langle S_n^3v,w \rangle$ и так далее.

[philurame]

Slav-27
Я ждал такого, только на деле, оказывается, ситуация даже сложнее, чем параллельный перенос..
А под $\nabla_wX$ вы подразумеваете, что $w\sim\frac{\partial}{\partial_w}$?(как по векторному полю $\partial_w$)
А связаны ли как-то $i$ и $i+1$ кв. формы? мне кажется, что $n\geqslant2$ форма это что-то типа окружности с касанием к кривой порядка $n$, только для многообразия.. (но как тогда связаны первая и вторая формы?)
Большое спасибо.

[Slav-27]

philurame в сообщении #1376370 писал(а):

А под $\nabla_wX$ вы подразумеваете, что $w\sim\frac{\partial}{\partial_w}$?(как по векторному полю $\partial_w$)

Я подразумеваю ковариантную производную поля $X$ в направлении $w$; это вектор, касательный к $Q$ в $p$. В координатах $(\nabla_wX)^i=w^j\partial_jX^i+\Gamma^i_{jk}w^jX^k$.

philurame в сообщении #1376370 писал(а):

А связаны ли как-то $i$ и $i+1$ кв. формы?

Ну как связаны $S^{i-1}$ и $S^i$? Теоремой Гамильтона -- Кэли (линейный оператор аннулируется своим характеристическим многочленом).

philurame в сообщении #1376370 писал(а):

мне кажется, что $n\geqslant2$ форма это что-то типа окружности с касанием к кривой порядка $n$, только для многообразия

Касание порядка $n$ в общем случае тут явно не получится (что бы под этим ни понимать), потому что производные у нас везде только 2 порядка.

philurame в сообщении #1376370 писал(а):

но как тогда связаны первая и вторая формы?

1-я форма не зависит от вложения многообразия $Q$ куда бы то ни было, она характеризует внутреннюю геометрию $Q$. 2-я (и последующие) формы не определяются внутренней геометрией $Q$: они зависят от вложения в объемлющее многообразие $M$.

-- 16.02.2019, 14:07 --

philurame в сообщении #1376370 писал(а):

оказывается, ситуация даже сложнее, чем параллельный перенос..

Я бы сказал, что не сложнее, а это оно и есть. Попробую повторить по-простому. У вас есть многообразие и его подмногообразие; например, сфера в $\mathbb R^3$. Вы взяли вектор, касательный к сфере, и параллельно переносите его вдоль сферы в смысле $\mathbb R^3$. Когда вы его перенесёте на маленькое расстояние, вы из касательного пространства к сфере вылезете. Проекция на касательное пространство к сфере -- это параллельный перенос по сфере (он определяется внутренней геометрией сферы); проекция на нормаль -- вторая квадратичная форма.

[philurame]

Slav-27 в сообщении #1376411 писал(а):

Я бы сказал, что не сложнее, а это оно и есть. Попробую повторить по-простому. У вас есть многообразие и его подмногообразие; например, сфера в $\mathbb R^3$. Вы взяли вектор, касательный к сфере, и параллельно переносите его вдоль сферы в смысле $\mathbb R^3$. Когда вы его перенесёте на маленькое расстояние, вы из касательного пространства к сфере вылезете. Проекция на касательное пространство к сфере -- это параллельный перенос по сфере (он определяется внутренней геометрией сферы); проекция на нормаль -- вторая квадратичная форма.

То есть я беру вектор из касательного пространства в точке $p$, кривую из этой точки, делаю параллельный перенос по этой кривой относительно объемлющего пространства, проецирую полученный вектор на нормаль в точке $\gamma(p)$. полученный вектор (взяв приращение) и называют второй квадратичной формой?
(то есть как раз все что мне нужно - касательный вектор к кривой и любой вектор из кас. пр-ва)

[Slav-27]

philurame в сообщении #1376423 писал(а):

То есть я беру вектор из касательного пространства в точке $p$, кривую из этой точки, делаю параллельный перенос по этой кривой относительно объемлющего пространства, проецирую полученный вектор на нормаль в точке $\gamma(p)$. полученный вектор (взяв приращение) и называют второй квадратичной формой?

Да, но это верно только если кривая имеет маленькую длину и слагаемыми выше первого порядка малости мы пренебрегаем. Предыдущее предложение неформально (как и моё пояснение "по-простому" из предыдущего поста); если хотите, то подумайте, как придать ему формальный смысл. Но как там ни ухищряйся с малыми переносами, а суть всё равно в том, что $\tilde\nabla_w \tilde X=\nabla_wX+(\tilde\nabla_w \tilde X)^\perp$, и никуда от этого не денешься.

И, конечно, никто не называет вектор квадратичной формой.

Пусть риманово многообразие $Q$ изометрически вложено в $\mathbb R^n$; как у $Q$ устроен параллельный перенос вдоль кривых? Надо разбить кривую на отрезки длины меньше $\varepsilon$, потом перенести вектор в $\mathbb R^n$ из начальной точки в начало второго отрезка, спроектировать на касательное пространство к $Q$; перенести вдоль следующего отрезка, спроектировать на касательное пространство к $Q$, и так пока не дойдём до конца. В пределе $\varepsilon\to 0$ получится параллельный перенос вдоль кривой в смысле $Q$.

[philurame]

Slav-27
Спасибо, параллельный перенос стал гораздо нагляднее;
У нас его определяли как поднятие кривой в касательное расслоение, где это осуществлялось как "решение задачи коши": образ кривой в $TM$ должен касаться в каждой точке $(p,v)$ трансверсальной площадки (к слою $T_pM$). (Выбор же этих площадок связан со связностью и $\nabla$)
Буду разбираться с производной, - а там и с второй кв. формой.

[Slav-27]

philurame в сообщении #1376467 писал(а):

У нас его определяли как поднятие кривой в касательное расслоение, где это осуществлялось как "решение задачи коши"

То, что я описал -- это более-менее процесс решения той самой задачи Коши методом ломаных Эйлера. (Но всё-таки это не совсем одно и то же: вам, насколько я понимаю, расказывали "внутреннее" определение, не требующее изометрического погружения в евклидово пространство.)

UPD: кажется, не ломаных Эйлера, надо будет подумать.

[philurame]

Slav-27
По-моему, если вложить в $\mathbb{R}^n$, то ваш процесс в точности и описывает геометрически сам параллельный перенос;
(да, нам дали определение без $\mathbb{R}^n$, но в нем мало наглядности)