Пусть

-- риманово многообразие,

-- вложенное подмногообразие.

риманово, значит, на нём есть метрика и задаваемая ею ковариантная производная

. В то же время метрика на

задаёт метрику на

и, соответственно, ковариантную производную

на

. Давайте подумаем, как связаны

и

.
А именно, встанем в какую-нибудь точку

на

. Пусть

-- какое-нибудь векторное поле на

(или на некоторой окрестности точки

в

), и пусть

-- какой-нибудь вектор, касательный к

в

. Поле

можно ограничить до поля

на

(или, соответственно, на некоторой окрестности

в

). Вопрос: как связаны

и

?
Ответ. Разложим вектор

на 2 составляющие: касательную к

и перпендикулярную

. Оказывается, касательная составляющая есть в точности

. Что же касается нормальной составляющей, то она (в отличие от касательной) не зависит от поведения

в окрестности

, а зависит только от его значения

. Эта нормальная составляющая и называется второю квадратичною формою

. Она симметрична относительно перестановки

и

. Итак, вторая квадратичная форма берёт 2 вектора, касательных к подмногообразию

в

, и возвращает вектор, нормальный к

в

.
Если рассматривать не произвольное подмногообразие, а гиперповерхность (например, гладкую ориентированную 2-мерную поверхность в

), то пространство нормальных векторов будет одномерно, и в этом случае можно считать, что 2-я квадратичная форма даёт не нормальный вектор, а число: компоненту вдоль положительной единичной нормали. Получается просто симметричная билинейная форма на поверхности.
В общем случае можно брать проекцию на произвольный нормальный вектор (то есть

) и считать, что 2-я квадратичная форма подмногообразия

-- это симметричная билинейная форма на

, зависящая от нормального вектора

.
Наконец, можно "поднять у этой билинейной формы один индекс" и получить линейный оператор на касательном расслоении, зависящий от нормального вектора

; этот оператор

определяется формулою

. В силу симметричности 2-й квадратичной формы он самосопряжён (то есть

). Называется он
оператором формы (shape operator).
(Оффтоп)
Почему "вторая"?
1-я квадратичная форма -- это скалярное произведение

; вторая

; можно определить третью

, четвёртую

и так далее.