Пусть
-- риманово многообразие,
-- вложенное подмногообразие.
риманово, значит, на нём есть метрика и задаваемая ею ковариантная производная
. В то же время метрика на
задаёт метрику на
и, соответственно, ковариантную производную
на
. Давайте подумаем, как связаны
и
.
А именно, встанем в какую-нибудь точку
на
. Пусть
-- какое-нибудь векторное поле на
(или на некоторой окрестности точки
в
), и пусть
-- какой-нибудь вектор, касательный к
в
. Поле
можно ограничить до поля
на
(или, соответственно, на некоторой окрестности
в
). Вопрос: как связаны
и
?
Ответ. Разложим вектор
на 2 составляющие: касательную к
и перпендикулярную
. Оказывается, касательная составляющая есть в точности
. Что же касается нормальной составляющей, то она (в отличие от касательной) не зависит от поведения
в окрестности
, а зависит только от его значения
. Эта нормальная составляющая и называется второю квадратичною формою
. Она симметрична относительно перестановки
и
. Итак, вторая квадратичная форма берёт 2 вектора, касательных к подмногообразию
в
, и возвращает вектор, нормальный к
в
.
Если рассматривать не произвольное подмногообразие, а гиперповерхность (например, гладкую ориентированную 2-мерную поверхность в
), то пространство нормальных векторов будет одномерно, и в этом случае можно считать, что 2-я квадратичная форма даёт не нормальный вектор, а число: компоненту вдоль положительной единичной нормали. Получается просто симметричная билинейная форма на поверхности.
В общем случае можно брать проекцию на произвольный нормальный вектор (то есть
) и считать, что 2-я квадратичная форма подмногообразия
-- это симметричная билинейная форма на
, зависящая от нормального вектора
.
Наконец, можно "поднять у этой билинейной формы один индекс" и получить линейный оператор на касательном расслоении, зависящий от нормального вектора
; этот оператор
определяется формулою
. В силу симметричности 2-й квадратичной формы он самосопряжён (то есть
). Называется он
оператором формы (shape operator).
(Оффтоп)
Почему "вторая"?
1-я квадратичная форма -- это скалярное произведение
; вторая
; можно определить третью
, четвёртую
и так далее.