Фихтенгольц: неточность?

[project15]

Трехтомник 2003 года, стр. 40 маленькая неточность.

То, что неравенство $\alpha$ $>$ $\beta$ равносильно неравенству $\alpha$ $-$ $\beta$ $>$ 0 это верно. А вот то что "тогда по "правилу знаков" и ($\alpha$ $-$ $\beta$) $\cdot$ $\gamma$ $>$ 0" уже не верно. "Правило знаков" говорит лишь о том, что произведение произвольных не равных нулю вещественных чисел одного знака равно произведению их модулей, а произведение произвольных не равных нулю вещественных чисел разных знаков равно числу, обратному произведению их модулей. Да, модули положительны по определению. Но то, что произведение двух положительных чисел является положительным числом - это теорема, которую надо доказать. Для рациональных чисел она как раз вытекает из утверждения, которое мы сейчас и доказываем (что обе части неравенства можно умножать на положительное число - это утверждение для рациональных принято за аксиому). Но для вещественных чисел использовать это утверждение нельзя - получится порочный круг. То, что произведение двух положительных вещественных является положительным числом, можно доказать используя определение произведения двух положительных вещественных чисел. Но ни из какого "правила знаков" данный факт не следует.

[Lia]

project15

project15 в сообщении #1375871 писал(а):

Но то, что произведение двух положительных чисел является положительным числом - это теорема, которую надо доказать. Для рациональных чисел она как раз вытекает из утверждения, которое мы сейчас и доказываем

Нет. Это следует из определения произведения вещественных чисел, которое дано в предыдущем пункте, п. 14.

Пожалуй, стоит сперва поинтересоваться в ПРР, откуда следует результат, а уже потом нести его сюда.

[project15]

Lia

Lia в сообщении #1375879 писал(а):

Нет. Это следует из определения произведения вещественных чисел, которое дано в предыдущем пункте, п. 14.

Привожу скриншот определения.

Где в определении сказано, что $\gamma$ является положительным числом?

Lia в сообщении #1375879 писал(а):

Пожалуй, стоит сперва поинтересоваться в ПРР, откуда следует результат, а уже потом нести его сюда.

(Оффтоп)

Я не был уверен, что разумно создавать новую тему, когда есть уже созданная. Если считаете необходимым - можете перенести в ПРР.

[Lia]

project15 в сообщении #1375887 писал(а):

Где в определении сказано, что $\gamma$ является положительным числом?

Там есть отношение порядка. Достаточно.
Если Вам кажется, что недостаточно - прочитайте учебник до цитируемых Вами моментов.

PS: да, скрин всего недостающего сюда нести не надо ) Если очень хочется - набирайте вручную.

[project15]

Lia
Если вы имеете в виду, что $\gamma$ $>$ 0 следует из определения - то это ровно то, о чем я и писал выше.

project15 в сообщении #1375871 писал(а):

То, что произведение двух положительных вещественных является положительным числом, можно доказать используя определение произведения двух положительных вещественных чисел. Но ни из какого "правила знаков" данный факт не следует.

Я не понимаю, в чем вы со мной не согласны.

Lia в сообщении #1375891 писал(а):

project15 в сообщении #1375887 писал(а):

Где в определении сказано, что $\gamma$ является положительным числом?

Там есть отношение порядка. Достаточно.
Если Вам кажется, что недостаточно - прочитайте учебник до цитируемых Вами моментов.

Верно. Необходимо использовать отношение порядка (и определение произведения), чтобы доказать то, что произведение двух положительных чисел является положительным числом. Это тривиальная теорема, которая вытекает из определения (а не из "правила знаков", как утверждает Фихтенгольц). В этом вся суть того, что я писал. Сформулируйте точно, с чем вы не согласны.

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1375891 писал(а):

PS: да, скрин всего недостающего сюда нести не надо ) Если очень хочется - набирайте вручную.

То, что вы с юмором, это хорошо) юмор упрощает общение)

[Lia]

project15 в сообщении #1375893 писал(а):

Необходимо использовать отношение порядка (и определение произведения), чтобы доказать то, что произведение двух положительных чисел является положительным числом.

Ну и как Вы будете доказывать, что произведение (вообще говоря нерациональное) положительно? В общих чертах если?

[bot]

(Оффтоп)

project15 в сообщении #1375893 писал(а):

То, что вы с юмором, это хорошо) юмор упрощает общение)

А здесь все такие.

[project15]

eugensk
Или так:
1) $\alpha\beta$ $=$ $\sup(ab)$
2) $\sup(ab)$ $>$ 0, т.к. в противном случае существовал бы элемент $a_0b_0$ множества $\left\lbrace ab \right\rbrace$, больший супремума.

[Xaositect]

По-моему, project15 прав, на таком уровне рассмотрения утверждение о положительности произведения положительных чисел надо доказывать.

[eugensk]

Те, кто находят Фихтенгольца легким чтением, где почти всё разжевано, сильно ошибаются; может быть, их сбивает с толку старомодная запись, без предикатов и кванторов.

Изложение Фихтенгольца вполне себе конспективное. Если по вещественным числам нужно более подробное (через сечения), можно взять Э.Ландау, Основы анализа.

[project15]

eugensk
А куда пропало ваше доказательство? Там вроде бы все было в порядке.

[eugensk]

project15
Да, в порядке, просто невпопад: ожидалось ваше доказательство, а я не видел.