|
Задача. Дано: квадрат со сторонами, равными 1.
Требуется: обоснованно разместить в единичном квадрате все целые числа, с учетом их разложения на простые множители и от количества множителей в этом разложении.
Решение.
1. Единичный квадрат, площадь которого равна 1, разбивается на отдельные области, площадь которых соответствует некоторому подмножеству целых чисел. Каждое из этих подмножеств, сумма которых должна быть равной 1, должно быть слагаемым числового ряда, сумма членов которого стремилась бы к 1, а значение каждого из слагаемых было бы равно частоте повторяемости в ряду целых чисел того или иного простого множителя. Такой ряд существует:
½+ 1/3(1-1/2)+ 1/5(1-1/2)(1-1/3)+…=1 [1] Для всех простых чисел.
Любое целое число можно приписать к одному, и только одному, члену ряда.
Например, все четные числа приписаны к члену ½. Член 1/5(1-1/2)(1-1/3) говорит о том, что
числа, входящие в это подмножество делятся на 5, но уже не делятся на 2 и на 3.
Ряд [1] можно записать как:
p2+р3+р5+…=1 [2], где р –члены ряда [1]. Значение р характеризует вклад того или иного простого числа в дело построения числового ряда, или по-другому, вероятность обнаружения в числовом ряде конкретного простого множителя.
2. Из левого нижнего угла квадрата провожу диагональ, делящую квадрат на область четных (вверху) и нечетных чисел. Далее, отрезками прямых радиальных линий разбиваю квадрат таким образом, чтобы площадь образующихся треугольников была бы равна значениям членов ряда [1]. Ввожу прямоугольную систему координат X,Y c ценром О, который совмещен с правым нижним углом квадрата.
3. Для области нечетных чисел ряд [1] выглядит, как :
1/3(1-1/2)+ 1/5(1-1/2)(1-1/3)+…= ½ [3]
или р3+р5+…=1/2 [4]
Алгебраическое умножение ряда [4] само на себя выражается в увеличении количества
членов в результирующем ряде:
P3^2+P5^2 +….+ 2P3P5…= ¼ [5]
Геометрически это будет выглядеть, как разбиение области нечетных чисел прямыми
линиями, параллельными оси Y, на более мелкие области (назову их масштабами М). М1 –
Это масштаб простых чисел, М2 – масштаб для чисел, состоящих из даух множителей и т.д.
Площадь каждой области будет уменьшаться в 2 раза после каждого умножения на ряд [4],
¼+1/8+1/16+…= ½. Я предполагаю, что простые числа будут размещаться в точках
пересечения радиальных линий разбиения со стороной квадрата. Предположение основано
на том, что после первого умножения на ряд [4] простые числа уже не учитываются
результирующим рядом [5]. Это означает, что они выделились в М1 (на стороне квадрата).
4. На следущем шаге, каждый из масштабов разбивается линиями, параллельными оси Y на
более мелкие области, но так же в соответствие с выражением [4]. Многократное выполнение алгоритма разбиения радиальными линиями и линиями, параллельными оси Y,
приведет к разбиению области нечетных чисел на все более мелкие области. Предполагаю,
что целые числа будут размещаться в точках пересечения линий разбиения. Общее правило такое: чем из большего количества множителей состоит число, тем ближе оно находится к центру О, и чем большие множители входят в разложение числа, тем ближе оно подходит к оси Х. Для области четных чисел рассуждения такие же, но размещение в ней чисел будет зеркально симметричным относительно диагонали квадрата по отношению к нечетным
числам.
5. После очередного умножения на выражение [5], в единичном квадрате (для чисел, составленных из разных множителей) увеличивается количество мест для его размещения, что не соответствует поставленной задаче размещения числа только в одном месте. Для решения этой проблемы я предположил, что числа должны занимать свои законные места, согласуясь с последовательным выполнением процесса разбиения квадрата, начиная с младших членов ряда [3] и далее по старшинству. Поэтому, например число 15 займет свое место в масштабе М2 в точке пересечения линий разбиения р3р5, но не в р5р3. Такой последовательный ход процесса разбиения и размещения чисел предполагает ввод параметра Р, численно равного сумме данного р и всех предыдущих р. Например, Р5=р3+р5. Линия, соединяющая в модели центр О с местом размещения числа, которую можно рассматривать, как вектор, характеризуется длиной и наклоном к оси Х (угол а).
6. Вектор Р полностью содержит всю информацию о положении числа, т.е. его координаты Х и У. X=1/2+P, Y=kX. Параметр k равен 1-2Р=tga. Нахожу выражение для вычисления длины вектора числа (вернее, квадрата его длины) X^2+Y^2 через Р, взяв за основу числа, находящиеся в М2 (числа из двух множителей). Получил два выражения, дающие одинаковый результат, но разные по форме записи.
1) X^2+Y^2=1-4P^2(1/2-P)= 1-(P^2-2P^3) [6]
2) X^2+Y^2= X^2(1+k^2)= (1+2P) [1-2(P-P^2)] [7]
Параметр Р в этих выражениях, с точки зрения числовой модели, можно трактовать, как подмножество чисел и как площадь ему соответствующую. Член ½-P равен площади еще не подвергшейся разбиению в данный момент времени. Выражение 1-4P^2(1/2-P) можно трактовать, как выделение из всего множества целых чисел произведения Р на Р (перемножение числовых матриц) и на ½-Р (умножение на неразделенную часть квадрата). Выражения (P^2-2P^3) и 2(P-P^2)] обозначают выделение из всего множества, чисел, состоящих из двух множителей. Член (1+2P)=2(1/2+Р) может означать поворот числовой модели на 90 град.
Приведу еще несколько примеров интерпретации алгебраических выражений применительно к числовой модели.
Выражение k^2= (1-2P^2) означает выделение масштаба М1.
Выражение k^4=1-[8(P-P^2)] означает последовательное выделение масштабов М1 и М2 (открывается доступ к М3).
Я пришел к выводу, что любые арифметические действия, где Х и У или их произведение представлены в четной степени, приводят к конкретным преобразованиям числовой модели. И, наоборот. Особый интерес представляют выражения X^2+Y^2 и X^3+Y^3.
7. После нахождения координат для всех целых чисел, появились некоторые основания попробовать примерить числовую модель в качестве реальной объектной реальности, т.е. ячейки пространства. Чем больше удастся найти совпадющих, пусть и косвенных, свойств модели и реальной ячейки пространства, тем с большим приближением можно их отождествить. Такие совпадения есть. Но это уже относится к сфере физики. Свои измышления на этот счет я уже давал. Прошу извинения за непрофессиональное изложение материала.
|
Но, к сожалению, непрофессиональное изложение материала в математике приводит к тому, что вас никто не сможет понять. Не просто соизволит не понять, а именно не сможет. Начнем с формулировки задачи, ибо пока ее нету - дальше рассуждать нет смысла.