2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 улучшение приближения параболической ломаной
Сообщение09.02.2019, 18:32 


23/04/18
70
Имеется функция $g(x)$ - ломаная, соединяющая отрезками все пары точек вида $(k-1,(k-1)^2),(k, k^2)$ где $k \in \mathbb{N}$. Далее $\Delta(f)=\sup\limits_{x \in [0,+\infty)}|f(x)-g(x)|$.
Например, если $f(x)=x^2$, то $\Delta(f)=\frac{1}{4}$.
Вопрос заключается в том, существует ли всюду на $[0,+\infty)$ бесконечно дифференцируемая $f \in C^{(\infty)}$, такая, что для любого $k \in \mathbb{N}$ $f(k-1)=(k-1)^2$, чтобы при этом $\Delta(f)<\frac{1}{4}$?
Есть идея, как это опровергнуть с помощью искусственного построения функции путём соединения отрезков прямой с кусками других нелинейных бесконечно дифференцируемых функций, но надо это делать так, чтобы в точках соединения этих кусков функция оставалась бесконечно дифференцируемой, какие для этого надо подбирать нелинейные бесконечно дифференцируемые функции не очень понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: улучшение приближения пораболической ломаной
Сообщение09.02.2019, 20:08 
Заслуженный участник


18/01/15
969
Существует, конечно. Вообще, бесконечная дифференцируемость --- довольно слабое условие. Между бесконечно дифференцируемыми функциями и непрерывными не такая уж большая разница. С другой стороны, между бесконечно дифференцируемыми и вещественно-аналитическими --- "дистанция огромного размера" (с).

Подумайте, в качестве промежуточного шага, над таким утверждением: для любого $\varepsilon>0$ существует функция $f$ на $[0,1]$, которая в некоторой окрестности (на $[0,1]$) точки $x=1$ --- тождественно нуль, в некоторой окрестности $0$ совпадает с $y=x$, везде внутри отрезка бесконечно дифференцируема, и $|f(x)|<\varepsilon$ $\forall x\in[0,1]$. А затем можно доказать, что непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить бесконечно дифференцируемой. И т.д. и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: улучшение приближения пораболической ломаной
Сообщение10.02.2019, 10:46 
Заслуженный участник


18/01/15
969
Еще более простое задание: состряпать функцию, бесконечно дифференцируемую на всей прямой, слева от нуля --- тождественный нуль, справа от 1 --- тождественно 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: улучшение приближения параболической ломаной
Сообщение10.02.2019, 14:19 


23/04/18
70
Да, проверил, вы действительно правы. В таком случае, что если мы требование бесконечной дифференцируемости заменим на требование вещественной аналитичности? Всё равно можно будет построить функцию, удовлетворяющую новым требованиям и сколь угодно близко аппроксимирующую данную ломаную?

 Профиль  
                  
 
 Re: улучшение приближения параболической ломаной
Сообщение10.02.2019, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13227
с Территории
Ну, полиномы Бернштейна-то никто не отменял.

 Профиль  
                  
 
 Re: улучшение приближения параболической ломаной
Сообщение12.02.2019, 19:32 
Заслуженный участник


18/01/15
969
ИСН
Многочлены Бернштейна касаются аппроксимации непрерывной функции многочленом на отрезке. Но приближение функции на отрезке многочленом и приближение непрерывной функции вещественно-аналитической на всей прямой --- это разные задачи.

Paul Ivanov
Да, любую непрерывную функцию на прямой можно приблизить вещественно-аналитической. Вот набросок рассуждения. Пусть $f\in C({\mathbb R})$.

1) Можно разложить $f$ в бесконечную сумму $f=\dots+g_{-1}+g_0+g_1+\ldots$, причем $g_i$ непрерывны, и $g_i=0$ вне отрезка $[i,\,i+2]$.

2) Пусть $g$ --- непрерывная функция на ${\mathbb R}$, $g=0$ вне $[0,2]$. Рассмотрим функции вида $$h(x)=h_{A,C,n}(x) = C\sum_{k=1}^{n-1} g(2k/n)e^{-A(x-2k/n)^2}\,. $$
Тогда для любого $\varepsilon>0$ существуют $A$, $C$, $n$ такие, что $|h(x)-g(x)|<\varepsilon$ всюду на ${\mathbb R}$.

3) Пусть $\varepsilon>0$. Возьмем $\varepsilon_i>0$ такие, что $\sum_{i\in{\mathbb Z}}\varepsilon_i=\varepsilon$. Построим $h_i$ вышеуказанного вида, хорошо приближающие $g_i$ (с точностью $\varepsilon_i$), и возьмем их сумму. Это будет приближение для $f$, с точностью $\varepsilon$.

4) Отметим, что все $h_i$ --- вещественно-аналитические.

-- 12.02.2019, 18:46 --

5) Проблема теперь в том, чтобы показать, что бесконечная сумма $\sum_{i\in{\mathbb Z}} h_i$ тоже вещественно аналитическая. Это делается выходом в комплексную плоскость. Ясно, что все $h_i$ --- комплексно-аналитические. Теперь уточним пункт 2). Будем рассматривать нашу функцию $h$ в полосе $|\operatorname{Im} z|\leq 1/2$. Тогда при подходящих $A$, $n$ верно, что $|h(x)|<\varepsilon$ везде в этой полосе, за исключением прямоугольника $-1\leq \operatorname{Re} z\leq3$.
(т.е. $h$ не только хорошо приближает $g$ на действительной прямой, но и малО в полосе, за исключением "существенного" прямоугольника).
Отсюда следует, что $\sum h_i$ --- ряд аналитических функций, равномерно сходящийся на любом компакте в полосе. Поэтому его сумма --- аналитическая функция в полосе (лучше сказать голоморфная... короче, однозначная), значит ограничение этой суммы на ${\mathbb R}$ --- вещественно-аналитическая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group