ИСНМногочлены Бернштейна касаются аппроксимации непрерывной функции многочленом на отрезке. Но приближение функции на отрезке многочленом и приближение непрерывной функции вещественно-аналитической на
всей прямой --- это разные задачи.
Paul IvanovДа, любую непрерывную функцию на прямой можно приблизить вещественно-аналитической. Вот набросок рассуждения. Пусть
.
1) Можно разложить
в бесконечную сумму
, причем
непрерывны, и
вне отрезка
.
2) Пусть
--- непрерывная функция на
,
вне
. Рассмотрим функции вида
Тогда для любого
существуют
,
,
такие, что
всюду на
.
3) Пусть
. Возьмем
такие, что
. Построим
вышеуказанного вида, хорошо приближающие
(с точностью
), и возьмем их сумму. Это будет приближение для
, с точностью
.
4) Отметим, что все
--- вещественно-аналитические.
-- 12.02.2019, 18:46 --5) Проблема теперь в том, чтобы показать, что бесконечная сумма
тоже вещественно аналитическая. Это делается выходом в комплексную плоскость. Ясно, что все
--- комплексно-аналитические. Теперь уточним пункт 2). Будем рассматривать нашу функцию
в полосе
. Тогда при подходящих
,
верно, что
везде в этой полосе, за исключением прямоугольника
.
(т.е.
не только хорошо приближает
на действительной прямой, но и малО в полосе, за исключением "существенного" прямоугольника).
Отсюда следует, что
--- ряд аналитических функций, равномерно сходящийся на любом компакте в полосе. Поэтому его сумма --- аналитическая функция в полосе (лучше сказать голоморфная... короче, однозначная), значит ограничение этой суммы на
--- вещественно-аналитическая.