Задача на конденсатор

[oleg_teleg]

В начальный момент времени, когда конденсатор полностью разряжен, ключ замыкают . Результаты измерений $I$, выполненных с точностью ±$1$ мкА в таблице. $R_{\text{резистора}}=20$кОм.




1) Зарядится ли конденсатор через 6 секунд после того, как ключ замкнули?
2) Найдите ЭДС источника $\varepsilon$.
3) Найдите напряжение на конденсаторе и резисторе через 3 секунды после замыкания ключа.

1) Я подозреваю, что нет, потому как через 6 секунд ток все еще идет в цепи, значит конденсатор заряжается. Как он зарядится, ток уже идти не будет.
2) В начальным момент, напряжение на конденсаторе было ноль, значит ЭДС источника полностью дает нагрузку сразу на резистор. Тогда $\varepsilon=I(R+r)$. Но нам ведь неизвестно внутреннее сопротивление источника, как быть?
3) Я понимаю, что $U=U_{\text{на конденсаторе}}+U_{\text{на резисторе}}$.

$U=\dfrac{\varepsilon R}{r+R}=\dfrac{\varepsilon (R_{\text{конденсатора}}+R_{\text{резистора}})}{r+(R_{\text{конденсатора}}+R_{\text{резистора}})}=$

Дальше возникает вопрос, а у нас переменный ток или постоянный и как учитывать сопротивление конденсатора? Можете, пожалуйста, подсказать направление мысли?

[Dmitriy40]

oleg_teleg в сообщении #1375196 писал(а):

Но нам ведь неизвестно внутреннее сопротивление источника, как быть?

Разумеется принять его нулевым, раз не указано.

oleg_teleg в сообщении #1375196 писал(а):

Дальше возникает вопрос, а у нас переменный ток или постоянный и как учитывать сопротивление конденсатора?

Ну уж точно не постоянный, т.к. меняется по величине. Но и переменным его называть не совсем корректно, всё же под переменным подразумевают обычно другой ток (строго периодический).
Сопротивление конденсатора учитывать не надо (тем более что на постоянном токе оно бесконечное), надо записать второе правило Кирхгофа в предположении что конденсатор является источником ЭДС. ЭДС источника Вы уже нашли (совершенно правильно), падение напряжения на резисторе получается из тока, итого неизвестных величин у вас останется всего одна: напряжение на конденсаторе. Для удобства можно сразу взять время в 3с чтобы потом меньше считать.

oleg_teleg в сообщении #1375196 писал(а):

1) Я подозреваю, что нет, потому как через 6 секунд ток все еще идет в цепи, значит конденсатор заряжается. Как он зарядится, ток уже идти не будет.

Не совсем так, ток строго до нуля не упадёт вообще никогда, так и будет бесконечно к нему приближаться. Вопрос когда конденсатор считать зарядившимся - лишь вопрос точности измерений (тока и напряжения), а вам прямо сказали

oleg_teleg в сообщении #1375196 писал(а):

Результаты измерений $I$, выполненных с точностью ±$1$ мкА

и этим можно и нужно воспользоваться. Т.е. когда ток становится меньше погрешности измерений можно считать ток нулевым и конденсатор зарядившимся. Будет ли это через 6с или позже - подумайте.

[oleg_teleg]

Dmitriy40 в сообщении #1375199 писал(а):

и этим можно и нужно воспользоваться. Т.е. когда ток становится меньше погрешности измерений можно считать ток нулевым и конденсатор зарядившимся. Будет ли это через 6с или позже - подумайте.

Спасибо! Но у нас же ток равен погрешности измерений. Это как раз граничный случай. Как тогда быть?

Dmitriy40 в сообщении #1375199 писал(а):

Разумеется принять его нулевым, раз не указано.

Тогда $\varepsilon=6$B, правильно? Получается, если бы внутреннее сопротивление не было нулевым, тогда недостаточно информации в условии, чтобы дать ответы на поставленные вопросы, да?

Dmitriy40 в сообщении #1375199 писал(а):

надо записать второе правило Кирхгофа в предположении что конденсатор является источником ЭДС.

То есть нужно записать, что $6=15\cdot 10^{-6}\cdot 20\cdot 10^3+\varepsilon_{конденсатора}$.
Тогда $U_{\text{на конденсаторе}}=\varepsilon_{\text{конденсатора}}=6-15\cdot 10^{-6}\cdot 20\cdot 10^3$В,
$U_{\text{на резисторе}}=\varepsilon_{\text{резистора}}=15\cdot 10^{-6}\cdot 20\cdot 10^3$B.
Верно ли будет так?

[Dmitriy40]

Да, с ненулевым внутренним сопротивлением источника ЭДС данных в условии недостаточно. И обычно если оно не указано, то подразумевается идеальность источника.
Расчёты верные.
Только записи вида $\varepsilon_\text{резистора}$ и $\varepsilon_\text{конденсатора}$ неправильные, эти элементы не имеют ЭДС, но имеют напряжение (в случае резистора - падение напряжения). Т.е. $U$ для них может быть, а $\varepsilon$ нет. (Для идеальной батарейки они тождественно равны, а вот для индуктивности они могут быть совсем разными.)

oleg_teleg в сообщении #1375202 писал(а):

Но у нас же ток равен погрешности измерений. Это как раз граничный случай.

Подойти формально: погрешность ±1мкА означает что при показаниях 1мкА реальное значение тока может быть от 0мкА до 2мкА. И если он вдруг реально 0мкА (например 11нА) и прибор врёт в плюс, то эти показания в 1мкА так и останутся навсегда - конденсатор зарядился. Т.е. признаком окончания заряда считать не обнуление показаний тока, а касание полосы погрешности (±1мкА от измеренного) нулевого значения - т.е. когда ток станет неотличим от нулевого по имеющемуся прибору, учитывая погрешность последнего.

[EUgeneUS]

oleg_teleg
Кстати, хороший повод разобрать, как работает RC-цепочка.
Как у Вас дела с решением тривиальных диффуров?
Вот такой $\frac {dx}{dt} + A x=0$, где $A$ - постоянный коэффициент, константа, решить сможете?

[oleg_teleg]

Dmitriy40 в сообщении #1375205 писал(а):

Только записи вида $\varepsilon_\text{резистора}$ и $\varepsilon_\text{конденсатора}$ неправильные, эти элементы не имеют ЭДС, но имеют напряжение (в случае резистора - падение напряжения). Т.е. $U$ для них может быть, а $\varepsilon$ нет.

Спасибо, разобрался! Хорошо, понятно, спасибо. С индуктивностью тоже после буду разбираться!

EUgeneUS в сообщении #1375243 писал(а):

Вот такой $\frac {dx}{dt} + A x=0$, где $A$ - постоянный коэффициент, константа, решить сможете?

Да, с математикой у меня намного лучше=)
$x(t)=Ce^{-At}$

-- 11.02.2019, 14:13 --

Насколько я понял, мы берем $CU=q$, дифференцируем по времени, получаем $CU'(t)=I$, далее $CU'(t)=\dfrac{U}{R}$, тогда $U'(t)=\dfrac{U}{CR}$ и получаем $U=C_1e^{-\frac{t}{CR}}$.

Это я понимаю, как мы получили зависимость $U(t)$. Математически понимаю. Ну и понимаю, что ток - это скорость изменения заряда в единицу времени и далее был применен формально закон Ома для участка цепи. Вижу, что в начальный момент некое напряжение где-то будет максимально. Вижу, что оно по экспоненте дальше стремится к нулю. Это я все понимаю математически. Осталось только физически понять))

-- 11.02.2019, 14:19 --

Видимо, если мы дифференцировали $CU=q$, значит так меняется напряжение на конденсаторе в процессе разрядки=)

-- 11.02.2019, 14:20 --

Но при этом использовали $I=\dfrac{U}{R}$, где $R$ - сопротивление резистора, значит оно каким-то боком здесь тоже все-таки нужно. Но как?)

[EUgeneUS]

oleg_teleg в сообщении #1375306 писал(а):

Насколько я понял,

Не совсем так. Тем более у Вас ошибка (из Ваших выкладок получается $U = C_1 e^{\frac{t}{RC}}$, а не правильная, с минусом в показателе).

Предлагаю по порядку. (Это всё есть в любом учебнике, но тем не менее, сделаем по шагам).
Шаг 1. Запишите второе правило Кирхгофа для контура из стартового поста (чтобы получился замкнутый контур, понятно, ключ должен быть замкнутым).

[oleg_teleg]

Хорошо:

$\varepsilon=U_{\text{на конденсаторе}}+U_{\text{на резисторе}}$

А дальше так?

$\varepsilon=\dfrac{Q}{C}+IR$.

-- 11.02.2019, 18:46 --

Если был бы постоянный источник ЭДС, тогда несложно было бы найти зависимость тока от времени, взяв производную и решив диффур:

$0=\dfrac{I}{C}+I'(t)R$.

Ну и решением этого уравнения было бы $I(t)=C_1e^{-\frac{t}{CR}}$

Но у нас-то не факт, что $\varepsilon=\operatorname{const}$. Скорее даже нет.

[EUgeneUS]

oleg_teleg
аха.
И что же мы имеем из физики? А из физики мы имеем:
а) Второе правило Кирхгофа, которое отражает потенциальность электрического поля - разница потенциалов при обходе по замкнутому контуру равна нулю.
Это именно правило, а не закон (как меня учили много лет назад ), так как является приближением.
Оно верно при стационарном (не изменяющемся) магнитном поле. Но ток-то у нас меняется, а значит меняется магнитное поле!
Но в приближении, когда $l << c\tau$ ($l$ - характерный размер схемы, $\tau$ - характерное время протекающих процессов) и контур не находится в меняющемся внешнем поле, его можно считать верным.

б) $CU_c=Q$ - заряд на конденсаторе прямо пропорционален напряжению на нем, а коэффициент пропорциональности называется ёмкость.

в) $U_r = IR$ - напряжение (падение напряжения) на активном сопротивлении прямо пропорционально току, закон Ома.

едем дальше.

1. СтОит обратить внимание, что $RC$ имеет размерность времени и называется постоянная времени RC-цепочки.
2. Из найденного выражения для $I(t)$ можно найти
а) Напряжение на резисторе: $U_r(t) = R A e^{\frac{-t}{RC}}$ (постоянную интегрирования я обозначил $A$, вместо $C_1$)
б) Напряжение на конденсаторе: $U_c(t) = \varepsilon - U_r = \varepsilon - R A e^{\frac{-t}{RC}}$

3. Вы справедливо отметили, что наши выкладки верны если $\varepsilon = \operatorname{const}$. Но рассмотрим момент включения ключа $t=0$.
а) В этот момент ЭДС моментально становится равной $\varepsilon$ и далее остаётся постоянной. То есть наши выкладки справедливы для времени $t>0$.
б) При этом конденсатор в этот момент времени разряжен ($Q=0$).

Вопрос: можете, исходя из этого, найти $A$?

[oleg_teleg]

В начальный момент времени $U_c(t)=0$, так как конденсатор разряжен, потому уравнение $U_c(t) =\varepsilon - R A e^{\frac{-t}{RC}}$ можно переписать в виде $0=\varepsilon - R A$, тогда $A=\frac{\varepsilon}{R}$.

Ну и напряжение на конденсаторе, с учетом найденной постоянной можно переписать в виде:

а) Напряжение на резисторе: $U_r(t) = \varepsilon \cdot e^{\frac{-t}{RC}}$
б) Напряжение на конденсаторе: $U_c(t) = \varepsilon - U_r = \varepsilon - \varepsilon\cdot e^{\frac{-t}{RC}}$

Или, можно так:

а) Напряжение на резисторе: $U_r(t) = \varepsilon \cdot e^{\frac{-t}{RC}}$
б) Напряжение на конденсаторе: $U_c(t) = \varepsilon(1-e^{\frac{-t}{RC}})$

Тогда, по мере зарядки конденсатора, получается, что напряжение на резисторе будет падать, а на конденсаторе будет стремится к $\varepsilon$. При бесконечном времени, получается, что на резисторе будет равно ЭДС. Получается, что никакой перезарядки конденсатора не будет, насколько я понял.

Вроде как так! Но чем отличается напряжение от падения напряжения? Остальное, вроде как понял... Но это потому, как здесь катушки не было=) Вот была бы катушка, мне бы мало не показалось!

[EUgeneUS]

oleg_teleg в сообщении #1375418 писал(а):

Вроде как так!

Аха.

oleg_teleg в сообщении #1375418 писал(а):

Но чем отличается напряжение от падения напряжения?

Считайте, это такой способ говорить , который отражает вот такой факт: если обходить сопротивление по направлению тока, протекающего через него, то потенциал при таком направлении обхода будет уменьшаться. Говорят: "на сопротивлении упало напряжение".

Если Вы всё поняли про RC-цепочки, вот пара проверочных вопросов:

1. Какая ёмкость конденсатора в задаче из стартового поста?
2. Чуть модифицируем схему:
- в одном положении ключ подключает источник ЭДС к RC цепочке
- в другом положении ключ отключает источник ЭДС от RC цепочки, но и закорачивает её.
1 секунду ключ в первом положении, 2 секунды - во втором, далее всё повторяется.
Нарисовать график напряжения на резисторе в установившемся режиме. Обязательно найти максимальное и минимальное значение напряжения.

[miflin]

oleg_teleg в сообщении #1375418 писал(а):

При бесконечном времени, получается, что на резисторе будет равно ЭДС.

А это как понимать?