Вопросы по ППН формализму

[schekn]

Остались некоторые вопросы по ОТО. В частности по ППН формализму.
Думал они сами рассосутся, но так и зависли.

Согласно Вайнбергу для проверки лидирующей теории и отсева альтернативных ,
введены сначала 3 параметра $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, в точном решении Шварцшильда , как коэффициенты в разложении метрики в изотропном виде в ряд Тэйлора. А затем 10 параметров Уилла в линеаризованном случае.

В стандартных координатах разложение выглядит так ($c=1$):

$$ds^2=(1-\frac{2MG}{r^2}+2(\beta-\gamma)\frac{M^2G^2}{r^2}+..)dt^2-(1+2{\gamma}\frac{MG}{r}+..)dr^2-d{\Omega}^2$$

В данном случае уже положили, что $\alpha=1$.
Экспериментально требуется подтвердить, что $\beta=\gamma=1$.

В описании эксперимента по запаздыванию радарного эха у Вайнберга
описано, как это происходит. Фактически строится теоретическая кривая,
которая подгоняется под экспериментальную. При этом
наряду с подгонкой физических параметров, таких как: скорости планет (Земли и Меркурия),
стандартных координат планет, $MG$ для Солнца и других ,
фактически приходится подгонять и фиктивные параметры $\beta$, $\gamma$.
В данном эксперименте определяется только $\gamma$, однако в определении
сдвига перигелия Меркурия , приходится задействовать третье слагаемое в
компоненте $g_{tt}: 2(\beta-\gamma)\frac{M^2G^2}{r^2}$, в которое входит равноправно оба параметра.
Предположу, что их определяют также - построением теоретической кривой и подгонкой.

Вопрос 1 . Но видно, что возможна ситуация, когда $\beta$ и $\gamma$ могут быть чуть больше $1$ или меньше $1$ и это приведет к тем же результатам.
Нет ли здесь неоднозначности?

Аналогично, если поднять точность измерения угла отклонения луча Солнцем от далекой звезды (или квазара), придется учитывать это третье слагаемое в $g_{tt}$ ( а это фактически сегодня уже достижимая точность).

Вопрос 2. Ну хорошо, поднимем мы точность измерения еще на порядок, придется вводить еще 10 параметров Уилла? Не получится так, что число фиктивных параметров превысит физических?
И тогда метод потеряет смысл?

Вопрос 3. Пока не могу сформулировать четко. Чуть позже попробую.

[schekn]

Надеялся, что после праздников, кто-то может прокомментировать. Если нет, то попытаюсь сформулировать третий вопрос.

[Someone]

ППН-формализм — это не ОТО. Это некий стандартизованный способ приближения многочисленных теорий гравитации, позволяющий сравнивать их друг с другом и с экспериментом.

[schekn]

Someone в сообщении #1367271 писал(а):

ППН-формализм — это не ОТО

Формализм ППН фигурирует именно в учебниках по ОТО , в частности у Вайнберга. И вопросы все равно остаются: как обрабатывать результаты, если количество фиктивных параметров возрастет при увеличении точности.

А третий вопрос сформулирован в статье Anatoli Vankov : https://arxiv.org/pdf/1008.1811.pdf

1.2 PPN and current status of the perihelion advance
problem
Work on GR (PPN) extension to the N-body problem was actually started
by Einstein with coauthors [8] (1949) and was continued during Clemence’s
time and later on, see, for example, [9] (1972), [10] (1973), [11] (1989), [12]
(1991)), [13] (1993), [14] (2000), [15] (2003), [16] (2005), [17] (2005), [18]
(2006), [19] (2007), [20] (2008), and references there.
In the 70s and later on, the N-body problem was theoretically formulated
in the parameterized post Newtonian (PPN) formalisms at the level of
ephemerides calculations. The GR perihelion advance problem is supposed
to be included in the formalism. As well known, the GR equations does not
provide exact solutions for most of practical problems, the N-body system,
in particular. The PPN approximation idea is to linearize the equations under
weak-field conditions for approximate N-body solutions. Inevitably, the
relativity essence such as a concept of proper-versus-improper quantities has
to be sacrificed.
Our criticism of the PPN methodology is expressed in the question: approximation
to what? Definitely, it is not the approximation of the exact
GR solution of N-body problem, because such a solution does not exist.
This is why the existence of the PPN frame with the corresponding coordinate
system cannot be justified, it is postulated. In the special important
case, N = 1 plus a test particle, the exact solution does exist; this is the
Schwarzshild metric, which is valid in the entire range of field strength. In
PPN methodology, the Schwarzshild metric is replaced with the approximate
(weak-field) solution containing the PPN parameters β and γ. The PPN formalism
is intended to account for perturbation of the planetary system due
to planet interactions, basically, with the use of Le Verrier’s method of Newtonian
mechanics. Nowadays, however, the N-body problem has an exact
computer-supported solution in the Newtonian model.

Если я правильно понял его критику, в случае системы N+1 (Массивная звезда + N пробных тел (планет)),
нет точных решений ОТО и непонятно отчего плясать. Что должно быть критерием правильности теории?

[Someone]

schekn в сообщении #1367415 писал(а):

И вопросы все равно остаются: как обрабатывать результаты, если количество фиктивных параметров возрастет при увеличении точности.

Параметры должны определяться из экспериментальных данных.

[Geen]

Хотелось бы уточнить, эта тема о ППН-формализме или о том как экспериментально измерять "параметры"?

[Munin]

Someone в сообщении #1367271 писал(а):

ППН-формализм — это не ОТО. Это некий стандартизованный способ приближения многочисленных теорий гравитации, позволяющий сравнивать их друг с другом и с экспериментом.

И как следствие, точность разложения при построении ППН-формализма определяется не только ОТО или экспериментом, но и множеством конкурирующих теорий гравитации, которые хочется между собой сравнивать. В этом плане, существующих параметров пока достаточно, и нет надобности строить разложение следующего порядка.

-- 10.01.2019 15:17:29 --

Кроме ППН, используются также и другие критерии, то есть ППН вписан в бо́льшую систему:
https://en.wikipedia.org/wiki/Alternatives_to_general_relativity#Testing_of_alternatives_to_general_relativity

[schekn]

Someone в сообщении #1367416 писал(а):

Параметры должны определяться из экспериментальных данных.

Вот как я понял из изложения Вайнберга, параметры $\beta$, $\gamma$,
определяются подгонкой методом наименьших квадратов, сравнивая экспериментальную и теоретическую кривые. Фактически , если вы остановитесь на этом, вы проверяете линеаризованную теорию гравитации, основанную на ОТО. И то , только вот в этом приближении.

[Someone]

schekn в сообщении #1367434 писал(а):

Вот как я понял из изложения Вайнберга

Не думаю, что надо ограничиваться одной книгой Вайнберга. Есть же ещё МТУ, глава 39.

[SergeyGubanov]

schekn, та система координат, метрику в которой Вы выписали в головном сообщении, не подходит для построения корректного предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона.

Корректный предельный переход из ОТО в теорию Ньютона делается в системе координат Пэнлеве, а не Шварцшильда. Я писал об этом там:

SergeyGubanov в сообщении #1243878 писал(а):

Someone в сообщении #1243841 писал(а):

в ньютоновской теории $\beta=\gamma=0$

Ну, не совсем. Параметры $\beta$ и $\gamma$ зависят от того какую систему координат использовали для предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона.

Воспользовавшись "произволом" в выборе четырёхмерной системы координат (используемой для предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона), можно ведь сделать и прямо противоположное утверждение: метрика $\beta=\gamma=0$ не имеет совершенно никакого отношения к теории Ньютона . Ведь, как говорилось выше, Ньютоновская теория как на уровне канонической Гамильтоновой механики, так и на уровне квантовой механики в точности эквивалентна теории со следующим Лагранжианом для свободной частицы:

$$ L = \frac{m}{2} \left( \frac{d{\bf r}}{dt} - {\bf V} \right)^2 \eqno(1) $$

Этот Лагранжиан очевидно соответствует нерелятивистскому движению в следующей метрике:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( d {\bf r} - {\bf V} dt \right)^2 \eqno(2) $$

которая, при $V^{r} = \pm \sqrt{ \frac{2 k M}{r} }$ является метрикой Пэнлеве, эквивалентной метрике Шварцшильда. А это означает, что при соответствующем выборе четырёхмерной системы координат для осуществления предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона, в теории Ньютона получаются в точности те же самые $\beta$ и $\gamma$ как и у Пэнлеве, т. е. как и у Шварцшильда

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1367586 писал(а):

Корректный предельный переход из ОТО в теорию Ньютона делается в системе координат Пэнлеве, а не Шварцшильда. Я писал об этом

От повторения это не станет правдой.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1367586 писал(а):

schekn, та система координат, метрику в которой Вы выписали в головном сообщении, не подходит для построения корректного предельного перехода из ОТО в теорию Ньютона.

Корректный предельный переход из ОТО в теорию Ньютона делается в системе координат Пэнлеве, а не Шварцшильда. Я писал об этом там:

Так исторически сложилось, что параметры введены в изотропном представлении метрики. Соответственно в Пенлеве это будут какие-то комбинации основных параметров $\beta$ , $\gamma$.
Фок считал, что именно гармонические координаты ближе всего к Минковскому.
Но вопросы были немного о другом.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1367888 писал(а):

Но вопросы были немного о другом.

Так ведь ответы на вопросы не имеют смысла потому, что зависимость параметров от системы координат с учётом применения неправильного предельного перехода между разными теориями (не ту систему координат взяли) обессмысливает деятельность по их стандартизации и измерению.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1368204 писал(а):

Так ведь ответы на вопросы не имеют смысла потому, что зависимость параметров от системы координат с учётом применения неправильного предельного перехода между разными теориями (не ту систему координат взяли) обессмысливает деятельность по их стандартизации и измерению.

Я интуитивно понимаю, что вы хотите сказать , но это скорее вопросы следует задать в астрономическом разделе, как согласуется система координат ППН формализма с международной небесной системой координат. Я до этого еще не добрался.
Но в данном случае вы не правы. Параметры Уилла не зависят от СК. Зависят только коэффициенты разложения в ряд Тейлора метрических компонент, введенных искусственно в разных координатных системах.
Но народ скорее всего уже столкнется со сложностью интерпретации наблюдений, уже имея 2 фиктивных параметра $\beta$ и $\gamma$.

[schekn]

Someone в сообщении #1367583 писал(а):

Не думаю, что надо ограничиваться одной книгой Вайнберга. Есть же ещё МТУ, глава 39.

Прочитал я главу 39 МТУ. Не скажу, что стало сильно понятнее, даже наоборот, их стиль изложения еще больше запутывает.
Единственное там был момент , когда они говорили, относительно чего проводятся измерения. Перигелий вращается относительно удаленных неподвижных звезд. Но чем конкретно выделяется ППН система координат относительно других СК неясно. И почему это есть подтверждение правильности ОТО также непонятно.

Зато в главе 40 все изложено более удачно. Там более понятно. Коэффициент перед формулой сдвига перигелия за один оборот есть:

$$\frac{2-\beta+2\gamma}{3}$$

Откуда видно, что вы не сможете однозначно определить оба значения параметров из данного эксперимента. Будет неоднозначность. МТУ берут $\gamma$ из эксперимента по гравитационной задержке радиосигнала с погрешностью, определенной на сегодняшний день из него. Но так делать нехорошо, потому что обработка результатов у вас разная. Эти эксперименты тогда надо проводить одновременно.
$\beta$, $\gamma$ - это не масса, не расстояние. Их нельзя просто взять и измерить.