Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу

[ProPupil]

Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$. Вот только проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении и опускании определения множества оно кажется просто ненужным рудиментом.

Но, если объединить алгебру и анализ, то можно более полно раскрыть сам смысл понятия.

1. Пусть задано множество $G_X= \{F(x)| F(x) \text{ дифференцируемо всюду на множестве } X\}$ с операцией поточечного сложения функций.

С точки зрения алгебры это множество образует абелеву группу по сложению.

2. Теперь мы можем ввести отношение эквивалентности следующим образом: $F_1(x) \sim F_2(x)$ тогда и только тогда, когда $F_1'(x)=F_2'(x)$ всюду на $X$.

Теперь рассмотрим функцию $\Phi(x) = F_1(x)-F_2(x)$ в предположении, что $F_1(x) \sim F_2(x)$. Очевидно, что $\Phi'(x)=0$ всюду на $X$.

С другой стороны, возьмём две любые точки $x_1, x_2 \in X$ и применим теорему Лагранжа $\Phi(x_2)-\Phi(x_1)=\Phi'(\xi)|x_2-x_1|=0$. Тем самым, $\Phi(x)$ есть константа. Здесь рассуждения повторяют доказательство теоремы о двух первообразных.

Теперь давайте рассмотрим подмножество $G(x)$, состоящее только из постоянных функций: $C = \{F(x) \in G_X: F(x)=const \text{ всюду на } X\}$. Это множество является подгруппой $G(x)$, а в силу абелевости - нормальной подгруппой $G(x)$.

Теперь найдём факторгруппу $G_X/C$. Это множество всех смежных классов F(x)+C, но это в точности множество функций вида $F(x)+C$.

Соответственно, определение неопределённого интеграла можно дать следующим образом: неопределённым интегралом $\int f(x)\, dx$ называется класс смежности вида F(x)+C группы $G(x)$ по нормальной подгруппе $C$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ на интервале $X$.

В таком определении полнее раскрывается смысл аддитивной константы.

[pogulyat_vyshel]

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):

Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$. Вот только проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении

Это не определение, а теорема про то ,как устроено множество первообразных непрерывной функции на отрезке. И теорема как правило, совершенно прозрачная даже для школьников. А извратиться и на ровном месте сложность из пальца высосать -- это каждый может.

[Guvertod]

pogulyat_vyshel
Как определение тоже имеет место быть. Нам давали вначале такое и на нем тренировали в вычислениях, а потом уже по Риману и закончили интегралом Лебега.

[pogulyat_vyshel]

Guvertod в сообщении #1368885 писал(а):

Как определение тоже имеет место быть.

ссылку на учебник, в котором эта формула является определением неопределенного интеграла приведите

[Guvertod]

Я учебников по матанализу вообще не знаю, я описал, как нам рассказывали. То есть дали формально такое, чтобы можно было решать задачи, пока до настоящего было далеко.

[ewert]

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):

проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении и опускании определения множества оно кажется просто ненужным рудиментом.

Только не рудиментом, а аппендиксом. Не надо студентам этого понимать, надо к этому тупо привыкать. Со стандартной мотивацией: пока что это пусть будет бантик, а вот немного позже появятся дифференциальные уравнения, и там без этого бантика совсем швах.

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):

Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$.

Вот именно что это всего лишь сокращённая запись множества, и вполне прозрачная. С формальной точки зрения гораздо непрозрачнее выглядит хвостик $dx$.

Guvertod в сообщении #1368885 писал(а):

Нам давали вначале такое и на нем тренировали в вычислениях, а потом уже по Риману и закончили интегралом Лебега.

Всё же надо понимать, что неопределённый интеграл и определённый суть по определению вещи принципиально разные. И разница между что Риманом, что Лебегом, что Стилтьесом каким-нибудь -- гораздо меньше, чем между ними и первообразными. Если говорить об определениях.

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):

С точки зрения алгебры это множество образует абелеву группу по сложению.

А вот это уже экстремизм. За это по нонешним временам...

[Markiyan Hirnyk]

См. очень близкое обсуждение здесь.