2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение15.01.2019, 11:19 


05/02/13
132
Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$. Вот только проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении и опускании определения множества оно кажется просто ненужным рудиментом.

Но, если объединить алгебру и анализ, то можно более полно раскрыть сам смысл понятия.

1. Пусть задано множество $G_X= \{F(x)| F(x) \text{ дифференцируемо всюду на множестве } X\}$ с операцией поточечного сложения функций.

С точки зрения алгебры это множество образует абелеву группу по сложению.

2. Теперь мы можем ввести отношение эквивалентности следующим образом: $F_1(x) \sim F_2(x)$ тогда и только тогда, когда $F_1'(x)=F_2'(x)$ всюду на $X$.

Теперь рассмотрим функцию $\Phi(x) = F_1(x)-F_2(x)$ в предположении, что $F_1(x) \sim F_2(x)$. Очевидно, что $\Phi'(x)=0$ всюду на $X$.

С другой стороны, возьмём две любые точки $x_1, x_2 \in X$ и применим теорему Лагранжа $\Phi(x_2)-\Phi(x_1)=\Phi'(\xi)|x_2-x_1|=0$. Тем самым, $\Phi(x)$ есть константа. Здесь рассуждения повторяют доказательство теоремы о двух первообразных.

Теперь давайте рассмотрим подмножество $G(x)$, состоящее только из постоянных функций: $C = \{F(x) \in G_X: F(x)=const \text{ всюду на } X\}$. Это множество является подгруппой $G(x)$, а в силу абелевости - нормальной подгруппой $G(x)$.

Теперь найдём факторгруппу $G_X/C$. Это множество всех смежных классов F(x)+C, но это в точности множество функций вида $F(x)+C$.

Соответственно, определение неопределённого интеграла можно дать следующим образом: неопределённым интегралом $\int f(x)\, dx$ называется класс смежности вида F(x)+C группы $G(x)$ по нормальной подгруппе $C$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$ на интервале $X$.

В таком определении полнее раскрывается смысл аддитивной константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение15.01.2019, 15:05 
Аватара пользователя


31/08/17
1510
ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):
Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$. Вот только проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении

Это не определение, а теорема про то ,как устроено множество первообразных непрерывной функции на отрезке. И теорема как правило, совершенно прозрачная даже для школьников. А извратиться и на ровном месте сложность из пальца высосать -- это каждый может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение15.01.2019, 16:52 
Аватара пользователя


20/07/18
259
pogulyat_vyshel
Как определение тоже имеет место быть. Нам давали вначале такое и на нем тренировали в вычислениях, а потом уже по Риману и закончили интегралом Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение15.01.2019, 17:27 
Аватара пользователя


31/08/17
1510
Guvertod в сообщении #1368885 писал(а):
Как определение тоже имеет место быть.

ссылку на учебник, в котором эта формула является определением неопределенного интеграла приведите

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение15.01.2019, 17:44 
Аватара пользователя


20/07/18
259
Я учебников по матанализу вообще не знаю, я описал, как нам рассказывали. То есть дали формально такое, чтобы можно было решать задачи, пока до настоящего было далеко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение04.02.2019, 13:30 
Заслуженный участник


11/05/08
31750
ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):
проблема в том, что среди студентов отсутствует понимание смысла вот этого $+С$ - при таком определении и опускании определения множества оно кажется просто ненужным рудиментом.

Только не рудиментом, а аппендиксом. Не надо студентам этого понимать, надо к этому тупо привыкать. Со стандартной мотивацией: пока что это пусть будет бантик, а вот немного позже появятся дифференциальные уравнения, и там без этого бантика совсем швах.

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):
Сейчас определение неопределённого интеграла дают как множество всех первообразных и просто коротко пишут $\int f(x)\, dx = F(x) + C$.

Вот именно что это всего лишь сокращённая запись множества, и вполне прозрачная. С формальной точки зрения гораздо непрозрачнее выглядит хвостик $dx$.

Guvertod в сообщении #1368885 писал(а):
Нам давали вначале такое и на нем тренировали в вычислениях, а потом уже по Риману и закончили интегралом Лебега.

Всё же надо понимать, что неопределённый интеграл и определённый суть по определению вещи принципиально разные. И разница между что Риманом, что Лебегом, что Стилтьесом каким-нибудь -- гораздо меньше, чем между ними и первообразными. Если говорить об определениях.

ProPupil в сообщении #1368816 писал(а):
С точки зрения алгебры это множество образует абелеву группу по сложению.

А вот это уже экстремизм. За это по нонешним временам...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределённый интеграл через отношения и фактор-группу
Сообщение04.02.2019, 14:29 


11/07/16
588
См. очень близкое обсуждение здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group