Эквивалентность матриц

[situs]

Всем доброго времени суток!

Возникли такие проблемы. Я хочу доказать, что любая кососимметричная матрица размера $4 \times 4$ состоящая из элементов $\left\lbrace-1, 0, 1\right\rbrace$, кроме матриц $A_1, A_2, A_3, A_4$ (см. ниже) может быть преобразована к одной из трех базовых матриц $S_1, S_2, S_3$.

Можно сказать по другому. Любая кососимметричная матрица размера $4 \times 4$ состоящая из элементов $\left\lbrace-1, 0, 1\right\rbrace$, либо может быть преобразована к одной из матриц $S_1, S_2, S_3$, либо является одной из матриц $A_1, A_2, A_3, A_4$.

$A_1 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &1 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ -1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$, ~A_2 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &-1 &0 \end{pmatrix}$,$

$A_3 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$, A_4 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}. $

$S_1 = \mathbb{O}, ~S_2 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}, ~S_3 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ -1 &0 &1 \\ -1 &-1 &0 \end{pmatrix}.$ $

Допустимые преобразования:
1) Перестановка строк (столбцов).
2) Умножение элементов строки (столбца) на число неравное нулю.
3) Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число неравное нулю.
4) Удаление нулевых строк и столбцов.
5) В случае, если элементы двух соседниx строк и столбцов образуют блок размера $2 \times 2$, т.е. имеют вид $\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}$, а элементы, лежащие левее/правее и ниже/выше этого блока, равны, то допускается замена соответствующих строк и столбцов на одну строку и столбец. Например:

$A = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ -1 &0 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix} \to \tilde{A} = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &0 &1 \\ 0 &-1 &0 \end{pmatrix}.$ $



Нетрудно заметить, что $\operatorname{rank}(A_1)=\operatorname{rank}(A_2)=\operatorname{rank}(A_3)=\operatorname{rank}(A_4)=4$. Скорее всего любые другие кососимметричные матрицы размера $4 \times 4$ будут с рангом меньше $4$.

Что делается в таких случаях, не знаю. Должна же быть какая-то теория на этот счет и теорема! Может нужно найти какой-то "оператор подобия" или эквивалентности матриц? На мой взгляд матрицы как бы разбиваются на два класса эквивалентности. Те которые преобразуются к базовым и те которые не преобразуются. Оператор подобия должен работать для одного класса, а для другого нет. Может ляпнул здесь какую то откровенную ересь. Так что простите, если что.

Помогите мне разобраться, пожалуйста.

[Otta]

А что такое эквивалентные матрицы?

[situs]

Otta в сообщении #1373834 писал(а):

А что такое эквивалентные матрицы?

Матрицы эквивалентые, если от одной матрицы можно перейти к другой, выполняя элементарные преобразования.

[Otta]

А какие преобразования элементарны?

[situs]

Otta в сообщении #1373837 писал(а):

А какие преобразования элементарны?

Перестановка строк (столбцов). Умножение элементов строки (столбца) на число неравное нулю. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число неравное нулю.

[Otta]

Что-то там было про ранг эквивалентных (в Вашем смысле) матриц. Не помните?

[situs]

Точно не понмню. Но вроде бы ранги должны быть равны. Так?

[Otta]

Ну так посмотрите точно, не на экзамене же. И думайте, зачем это Вам и что с ним делать.

[situs]

Спасибо Вам. Посмотрел. Так и есть. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги. Но у меня $rank(A) = 2$, а $rank(B) = 3$. Здесь явно что-то не так, так как матрицы эквивалентны (по условию), т.е. мне нужно показать что они эквивалентны

[Otta]

Ну тут ничего не попишешь. Какие матрицы - такой результат. Нельзя показать, что эквивалентны, если не эквивалентны. Но можно написать, что не эквивалентны.

И либо эквивалентность - условие, либо "нужно показать".
В Вашем случае особо не разгуляешься.

[situs]

Я оказывается неправильно выписал исходные матрицы. Правильно так:

$A = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &-1 &0 &1 \\ 0 &0 &-1 &0 \end{pmatrix}$, ~B = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &1 \\ 0 &-1 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}.$ $

Не могли бы Вы, пожалуйста, подсказать как установить, наверное, классы эквивалентности матриц?

Не знаю как это правильно назвать. Нужно показать, что заданные и некоторые другие матрицы могут быть преобразованы к одной из трех базовых матриц $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ и больше ни к какой другой. Это и будет три класса эквивалентности.

$S_1 = \mathbb{O}, ~S_2 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}, ~S_3 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ -1 &0 &1 \\ -1 &-1 &0 \end{pmatrix}.$ $

[bot]

situs, эквивалентностей много. Как ставится вопрос там, откуда он взят?
Какая эквивалентность рассматривается в ближайшей окрестности задачи?

[alcoholist]

situs в сообщении #1373928 писал(а):

заданные и некоторые другие

Это слишком расплывчато. К тому же ваши претенденты на представителей классов эквивалентности имеют разный размер

-- Пн фев 04, 2019 11:37:38 --

судя по всему,

situs в сообщении #1373928 писал(а):

некоторые другие матрицы

это кососимметрические, а к операциям нужно добавить одновременное вычеркивание нулевых строки и столбца, пересекающихся на диагонали

[situs]

bot в сообщении #1373955 писал(а):

situs, эквивалентностей много. Как ставится вопрос там, откуда он взят?

Там, откуда он взят вопрос ставится так. Доказать, что любая кососимметричная матрица размера $4 \times 4$, кроме матриц $A_1, A_2, A_3, A_4$ (см. ниже) может быть преобразована к одной из трех базовых матриц $S_1, S_2, S_3$.

$A_1 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &1 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ -1 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$, ~A_2 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &-1 &0 \end{pmatrix}$,$

$A_3 = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}$, A_4 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ -1 &0 &1 &1 \\ -1 &-1 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix}. $


$S_1 = \mathbb{O}, ~S_2 = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{pmatrix}, ~S_3 = \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ -1 &0 &1 \\ -1 &-1 &0 \end{pmatrix}.$ $

Я не понимаю как это правильно делать, т.е. как доказывать. Легко определить, что $\operatorname{rank}(A_1)=\operatorname{rank}(A_2)=\operatorname{rank}(A_3)=\operatorname{rank}(A_4)=4$. Скорее всего любые другие кососимметричные матрицы размера $4 \times 4$ будут с рангом меньше $4$.

[alcoholist]

situs в сообщении #1374038 писал(а):

может быть преобразована

как преобразуете, если размер разный?