Ещё одна задача по теории меры

[Tiberium]

Задача такая: доказать, что, если $f_n:X \to \mathbb{R}$ измеримы и последовательность $\{f_n\}$ фундаментальна почти всюду, то существует измеримая функция $f$, для которой $f_n \to f$ почти всюду.

Встречал похожую задачу, где доказывалось для $\{f_n\}$, фундаментальных по мере. Не могу сказать, что все мне было понятно. Буду благодарен за намеки в правильном направлении. По идее, если есть сходимость по мере, то можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду, но поможет ли это здесь?

Понятно, что нужно как-то использовать наличие фундаментальности и, следовательно, существования пределов, но все равно непонятно, откуда следует сходимость почти всюду.

[mihaild]

А в каком смылсе понимается фундаментальность последовательности?
(если поточечно, то из условия сразу следует сходимость почти всюду)

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1373656 писал(а):

А в каком смылсе понимается фундаментальность последовательности?

Если я правильно понимаю, то имеется в виду, что:
$\mu(X\setminus \{x \in X: |f_n(x) - f_m(x)|\to 0$ при $n,m \to \infty\}) = 0$

[mihaild]

Ну т.к. $|f_n(x) - f_m(x)| \to 0 \leftrightarrow \exists a: f_n(x) \to a$, то из фундаментальности почти всюду следует сходимость почти всюду. А сходящаяся почти всюду последовательность сходится к измеримой функции (для полной меры).
Задача выглядит очень странной, либо я чего-то не понимаю, либо где-то ошибка.

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1373659 писал(а):

адача выглядит очень странной, либо я чего-то не понимаю, либо где-то ошибка.

Такое определение фундаментальности для последовательности функций является общепринятым?

Извините за тугодумие, но почему из фундаментальности следует сходимость почти всюду? Мы берем множество предельных точек в качестве множества значений $f$?

[mihaild]

Tiberium в сообщении #1373667 писал(а):

Такое определение фундаментальности для последовательности функций является общепринятым?

Мне известно только определение фундаментальной последовательности точек метрического или топологического векторного пространства. Чтобы его тут применить, нужна либо метрика, либо хотя бы топология на функциях.

Tiberium в сообщении #1373667 писал(а):

почему из фундаментальности следует сходимость почти всюду?

Потому что для числовых последовательностей фундаментальность равносильна сходимости. Множество точек $x$ таких что $f_n(x)$ не фундаментальна имеет меру $0$ - а значит и множество таких точек, в которых $f_n(x)$ не сходится имеет меру $0$. Что и является определением сходимости почти всюду.

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1373688 писал(а):

Потому что для числовых последовательностей фундаментальность равносильна сходимости. Множество точек $x$ таких что $f_n(x)$ не фундаментальна имеет меру $0$ - а значит и множество таких точек, в которых $f_n(x)$ не сходится имеет меру $0$. Что и является определением сходимости почти всюду.

Тогда действительно задача какая-то странная. Я так и хотел приблизительно написать, но показалось, что я сильно все упростил, и что-то тут сложнее. По крайней мере, в задаче с фундаментальностью по мере все не так просто.

Ещё раз спасибо за помощь!

[alcoholist]

mihaild в сообщении #1373659 писал(а):

А сходящаяся почти всюду последовательность сходится к измеримой функции (для полной меры).

Прям теорема? Извините, я уже давно не сталкивался с этим материалом.

[mihaild]

alcoholist в сообщении #1374023 писал(а):

Прям теорема?

Такую формулировку сходу не нашел, но для просто сходимости это написано много где (например Рудин, "Основы математического анализа", следствие b из теоремы 10.17). А дальше всё на пальцах: если $f_n \to f$ везде кроме $X$ меры $0$, то $g_n = f_n \cdot \mathbb{I}_{\vbar X}$ измеримы и сходятся к $g = f \cdot \mathbb{I}_{\vbar X}$ всюду, значит $g$ измерима, а $g$ отличается от $f$ только на $X$.

[alcoholist]

mihaild в сообщении #1374061 писал(а):

значит $g$ измерима

я так и не понял, почему $g$ измерима, пусть $f_n$ сходится поточечно везде

[mihaild]

Рудин в Основы математического анализа, стр. 283 писал(а):

(b) Предел сходящейся последовательности измеримых функций - измеримая функций

[alcoholist]

mihaild
спасибо