Уравнение в рациональных числах x,y,z

[scwec]

Найдите однопараметрическое решение уравнения $(x^2+a)zy+(y^2+a)zx+(z^2+a)xy=k$ в рациональных числах $x,y,z$ при произвольных рациональных $a,k$, не равных нулю.

[Shadow]

Решениями (не все, конечно) будут

$y=\dfrac{k}{ax};\quad z=-\dfrac{(a^2+k)(ax^2+k)}{akx}$

от "параметра" $x$

[scwec]

Shadow
Именно это решение и имелось в виду.
Таких 1-параметрических решений бесконечно много.
Однако, уже следующие решения, получаемые удвоением и сложением точек на соответствующей эллиптической кривой, очень громоздки.
Приведу одно для $a=k=1$
$x=\dfrac{2(6t^6+17t^4+15t^2+4)}{t(4t^6+8t^4-t^2-6)}$
$y=-\dfrac{t(16t^8+76t^6+140t^4+121t^2+42)}{12t^8+28t^6+7t^4-18t^2-8}$
$z=t$

Добавлено 30.01.2019
А вот решение исходного уравнения без применения техники эллиптических кривых.
$x=\dfrac{ta^2(ka{t^2}+2k^2+a^3{t^2}+a^2k)}{(a^2+k)(at^2+k)k}$
$y=-\dfrac{(a^2+k)(at^2+k)}{akt}$
$z=t$
Оно получается после подстановки в исходное уравнение значений из решения Shadow
$z=t, y=-\dfrac{(a^2+k)(at^2+k)}{akt}$ и решением квадратного уравнения относительно $x$.
Далее по такой же схеме получаются следующие 1-параметрические решения.

[scwec]

Предлагаю найти 1-параметрическое решение в рациональных $x,y,z$ уравнения $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=1$
Имеются нетривиальные компактные решения.

[Shadow]

scwec в сообщении #1372751 писал(а):

Предлагаю найти 1-параметрическое решение в рациональных $x,y,z$ уравнения $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=1$
Имеются нетривиальные компактные решения.

$\dfrac{1-q}{q^2-q+1};\; \dfrac{q}{q^2-q+1};\;\dfrac{q(q-1)}{q^2-q+1}$

[scwec]

Из решения Shadow по рецепту приведенному выше получается сколь угодно много 1-параметрических решений. Приведу два.
$\dfrac{q(q-1)}{q^2-q+1}; \dfrac{1-q}{q^2-q+1}; \dfrac{(q^2-q+1)^3}{q(q-1)}$
$\dfrac{q}{q^2-q+1}; \dfrac{1-q}{q^2-q+1}; \dfrac{(q^2-q+1)^3}{q(q-1)^4}$
Ещё одно решение с бесконечным продолжением:
$q; \dfrac{1}{q^4+1}; -\dfrac{(q^4-q^3+1)(q^4+1)}{q(q^5+q+1)}$
и т.д.

[scwec]

Если рассмотреть уравнение $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=k$, где рациональное $k\ne{0}$, то 1-параметрическим решение для него является, например,
$q; \dfrac{k}{q^4+1}; -\dfrac{(q^4-kq^3+1)(q^4+1)}{kq(q^5+q+k)}$.
Из него получается бесконечно много других решений, но уже довольно громоздких.

[scwec]

При интересе к теме полезно найти два 1-параметрических решения $x,y,z$ уравнения $(axy+byz+czx)(x+y+z)=k$, где рациональные $a,b,c$ не равны нулю, $k$ - произвольное рациональное.
Далеко не всякие уравнения такого рода вообще имеют какие-то рациональные решения.

[scwec]

Первое решение

x = t/(a*b), y = -t/(a*c), z = -(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2)/(a*b*t^2*c)

Второе решение

x = t/(a*b),  y=k^2*b^3*c^4*a^4+t^6*b-a^3*t^3*k*b*c^2+a^2*t^3*k*b*c^3-2*a^2*t^3*b^2*k*c^2-t^6*c)/(a*c*t^2*(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2-t^3*a)),
z = -(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2)/(a*b*t^2*c)

Далее очень громоздко.