2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение26.01.2019, 22:51 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Найдите однопараметрическое решение уравнения $(x^2+a)zy+(y^2+a)zx+(z^2+a)xy=k$ в рациональных числах $x,y,z$ при произвольных рациональных $a,k$, не равных нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение27.01.2019, 20:09 


26/08/11
1776
Решениями (не все, конечно) будут

$y=\dfrac{k}{ax};\quad z=-\dfrac{(a^2+k)(ax^2+k)}{akx}$

от "параметра" $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение27.01.2019, 22:55 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Shadow
Именно это решение и имелось в виду.
Таких 1-параметрических решений бесконечно много.
Однако, уже следующие решения, получаемые удвоением и сложением точек на соответствующей эллиптической кривой, очень громоздки.
Приведу одно для $a=k=1$
$x=\dfrac{2(6t^6+17t^4+15t^2+4)}{t(4t^6+8t^4-t^2-6)}$
$y=-\dfrac{t(16t^8+76t^6+140t^4+121t^2+42)}{12t^8+28t^6+7t^4-18t^2-8}$
$z=t$

Добавлено 30.01.2019
А вот решение исходного уравнения без применения техники эллиптических кривых.
$x=\dfrac{ta^2(ka{t^2}+2k^2+a^3{t^2}+a^2k)}{(a^2+k)(at^2+k)k}$
$y=-\dfrac{(a^2+k)(at^2+k)}{akt}$
$z=t$
Оно получается после подстановки в исходное уравнение значений из решения Shadow
$z=t, y=-\dfrac{(a^2+k)(at^2+k)}{akt}$ и решением квадратного уравнения относительно $x$.
Далее по такой же схеме получаются следующие 1-параметрические решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение29.01.2019, 22:30 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Предлагаю найти 1-параметрическое решение в рациональных $x,y,z$ уравнения $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=1$
Имеются нетривиальные компактные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение31.01.2019, 11:45 


26/08/11
1776
scwec в сообщении #1372751 писал(а):
Предлагаю найти 1-параметрическое решение в рациональных $x,y,z$ уравнения $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=1$
Имеются нетривиальные компактные решения.

$\dfrac{1-q}{q^2-q+1};\; \dfrac{q}{q^2-q+1};\;\dfrac{q(q-1)}{q^2-q+1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение31.01.2019, 16:32 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Из решения Shadow по рецепту приведенному выше получается сколь угодно много 1-параметрических решений. Приведу два.
$\dfrac{q(q-1)}{q^2-q+1}; \dfrac{1-q}{q^2-q+1}; \dfrac{(q^2-q+1)^3}{q(q-1)}$
$\dfrac{q}{q^2-q+1}; \dfrac{1-q}{q^2-q+1}; \dfrac{(q^2-q+1)^3}{q(q-1)^4}$
Ещё одно решение с бесконечным продолжением:
$q; \dfrac{1}{q^4+1}; -\dfrac{(q^4-q^3+1)(q^4+1)}{q(q^5+q+1)}$
и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение31.01.2019, 19:56 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Если рассмотреть уравнение $(x^2{y^2}+1)z+(y^2{z^2}+1)x+(x^2{z^2}+1)y=k$, где рациональное $k\ne{0}$, то 1-параметрическим решение для него является, например,
$q; \dfrac{k}{q^4+1}; -\dfrac{(q^4-kq^3+1)(q^4+1)}{kq(q^5+q+k)}$.
Из него получается бесконечно много других решений, но уже довольно громоздких.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение01.02.2019, 19:18 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
При интересе к теме полезно найти два 1-параметрических решения $x,y,z$ уравнения $(axy+byz+czx)(x+y+z)=k$, где рациональные $a,b,c$ не равны нулю, $k$ - произвольное рациональное.
Далеко не всякие уравнения такого рода вообще имеют какие-то рациональные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в рациональных числах x,y,z
Сообщение09.02.2019, 13:29 
Заслуженный участник


17/09/10
1764
Первое решение
Код:
x = t/(a*b), y = -t/(a*c), z = -(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2)/(a*b*t^2*c)

Второе решение
Код:
x = t/(a*b),  y=k^2*b^3*c^4*a^4+t^6*b-a^3*t^3*k*b*c^2+a^2*t^3*k*b*c^3-2*a^2*t^3*b^2*k*c^2-t^6*c)/(a*c*t^2*(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2-t^3*a)),
z = -(c*t^3-b*t^3+k*a^2*c^2*b^2)/(a*b*t^2*c)

Далее очень громоздко.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group